【正文】 等式得證。5．已知數(shù)列{an}中an=iinnn21，求證：229。ai(ai1)=1方法一：ai(ai1)=ni2121iii(21)(22)=ii1i1(21)(21)=i11121i.\229。i=1ai(ai1)(21)+（121121)+（121121)+L+（12n11121n)=3121n：ai(ai1)=ii(21)=i122+i122i122+i163。22ii1.(i179。2)n\229。i=1ai(ai1)2+++L+n1=2+(112)=3n1n1法3：數(shù)歸證\229。i=1ai(ai1)3121n3.（即轉(zhuǎn)化為證明加強(qiáng)命題）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x，數(shù)列{an}滿足：a1=2,ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)．（1）求證：ln(1+x)163。x；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）求證不等式：a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2)． 解：（1）f(x)=ln(1+x)x，f39。(x)=11+x1=x1+x，當(dāng)1x0時(shí)，f39。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x0時(shí)，f39。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)．所以f39。(0)=0，即x=0是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)f(x)=ln(1+x)x163。f(0)=0222。ln(1+x)163。x，當(dāng)x=0時(shí)取到等號(hào)．（2）法1：數(shù)學(xué)歸納法（先猜想，再證明）法2：由ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)得2an+1=an+1an+1，an+1=12an，an+11=12an1=an12an，1an+11=1an11，即數(shù)列237。236。252。1=2，公差為1，是等差數(shù)列，首項(xiàng)為253。a11238。an1254。nn+1∴an1=n1222。an=．（3）法1：a1+a2+L+an=111+1+112+1+L+111246。230。1=n231。++L+247。23n+1n+1232。248。又∵x0時(shí)，有xln(1+x)，令x=1n+1230。1232。20，則1246。n+2230。ln231。1+=ln 247。n+1n+1248。n+1232。1∴n231。+3+L+345n+1n+2246。246。230。nln+ln+ln+L+ln+ln247。231。247。 n+1248。234nn+1232。248。n+2246。n+2=nl=n+247。n+1248。2=n231。ln180。232。230。343180。L180。ln2n) (nl+∴a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2) ． 法2：積分法要證原命題，即證：231。230。1232。2246。247。ln(n+2)ln2 n+1248。1++L+11246。230。1++L+231。247。3n+1248。232。2230。1232。2n+2242。1xdx=lnxn+22法3：數(shù)歸證明：、（1）求證：2n++L+246。247。ln(n+2)ln2 n+1248。+2n+1(n2,n206。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。1+x證明x第四篇：放縮法與數(shù)列不等式的證明2017高三復(fù)習(xí)靈中黃老師的專題放縮法證明數(shù)列不等式編號(hào)：001 引子：放縮法證明數(shù)列不等式歷來(lái)是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，在高考數(shù)列試題中經(jīng)常扮演壓軸的角色。由于放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂“放大一點(diǎn)點(diǎn)太大，縮小一點(diǎn)點(diǎn)太小”。為了揭開(kāi)放縮法的神秘面紗，黃老師特開(kāi)設(shè)這一專題，帶領(lǐng)大家走近“放縮法”。一．放縮法證明不等式的理論依據(jù)： １．不等式的傳遞性：２．同向不等式的可加性：３．同向的正數(shù)不等式的可乘性：二．常見(jiàn)的數(shù)列求和的方法及公式特點(diǎn)： １．等差數(shù)列的和。an=_____sn=______(n206。N*)２．等比數(shù)列的和：an=kqn,sn=３．錯(cuò)位相減法：等差等比４．裂項(xiàng)相消法：若anan1=d(d為常數(shù)）：１．放縮目標(biāo)模型：可求和 １．１等差模型1111=()(n206。N*)anan1dan1ana1(1qn)（q185。1）(n206。N*)1qn(n+1)n(n+2)p12+23+...+n(n+1)p例１.（１９８５全國(guó)卷）求證：(n206。N*)22n(n+1)n(n+3)p12+23+...+n(n+1)p變式：(n206。N*)22：+2+3+....+n1(n206。N*)2222：1+12+1+11223+1+......+2n+11(n206。N*2+1)例３.（２０１４全國(guó)卷Ⅱ１{an}滿足a1=1,an+1=3an+1,1）證明：236。237。238。a1252。n+{an}的通項(xiàng)公式 2）證明：1a+113a+.......+12an2變式：求證：121+121+1152231+......+2n13(n206。N*)例４.（２００２全國(guó)卷理２２題７題）第２問(wèn)已知數(shù)已知數(shù)列列（（）{an}滿足an+1=an2nan+1,n=1,2,3.......當(dāng)a1179。3時(shí)，證明對(duì)所有的n179。1,n206。N*(1）an179。n+2（2）證明：1a1+1a+.......+111+2+1an+12：12+1+23n22+2+23+3+.......+2n+n2(n206。N*)例2(2013廣東文19第(3)問(wèn))求證：11180。3+13180。5+15180。7+L+11(2n1)(2n+1)2：n12n+122+32+......+n2n(n206。N*)(n206。N*)：1+2+2+......+22(n206。N*)：：：：23n 1+111722+32+......+n24(n206。N*)1+12+115232+......+n24(n206。N*)+12+13+......+1n2n(n206。N*)+11132+52+......+(2n1)2321115：1+2+2+......+235(2n1)4常見(jiàn)的放縮技巧總結(jié)：第五篇：放縮法證明不等式放縮法證明不等式不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。一、不等式的初等證明方法：由因?qū)Ч?。：?zhí)果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。：正難則反。：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如(2)利用基本不等式，如：(3)將分子或分母放大(或縮小)：：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。二、部分方法的例題換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過(guò)變量替換可以改變問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過(guò)大或縮得過(guò)小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。數(shù)學(xué)題目是無(wú)限的，但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。我們只要學(xué)好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，掌握了必要的數(shù)學(xué)思想和方法，就能順利地應(yīng)對(duì)那無(wú)限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無(wú)邊，總也做不完。關(guān)鍵是你有沒(méi)有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有沒(méi)有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。當(dāng)然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時(shí)間，這一點(diǎn)在考試時(shí)間有限時(shí)顯得很重要。二是利用做題來(lái)鞏固、記憶所學(xué)的定義、定理、法則、公式，形成良性循環(huán)。解題需要豐富的知識(shí)，更需要自信心。沒(méi)有自信就會(huì)畏難，就會(huì)放棄。有了自信，才能勇往直前，才不會(huì)輕言放棄，才會(huì)加倍努力地學(xué)習(xí)，才有希望攻克難關(guān)，迎來(lái)屬于自己的春天。