【正文】 231。ln180。232。230。343180。L180。ln2n) (nl+∴a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2) ． 法2：積分法要證原命題，即證：231。230。1232。2246。247。ln(n+2)ln2 n+1248。1++L+11246。230。1++L+231。247。3n+1248。232。2230。1232。2n+2242。1xdx=lnxn+22法3：數(shù)歸證明：、（1）求證：2n++L+246。247。ln(n+2)ln2 n+1248。+2n+1(n2,n206。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。1+x證明x第四篇：裂項(xiàng)放縮證明數(shù)列不等式策略一、裂項(xiàng)放縮證明數(shù)列不等式若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來解題。例1（全國(guó)I理22壓軸題）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn=項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn=2n43an180。2n+1+23，n=1,2,3,ggg（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通nSn，n=1,2,3,ggg，證明：229。Tii=1例1（湖北理17）已知二次函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f39。(x)=6x2，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)*和為Sn，點(diǎn)(n,Sn)(n206。N)均在函數(shù)y=f(x)的圖像上。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=3anan+1，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tnm20對(duì)所有n206。N*都成立的最小正整數(shù)m；例1（重慶理22壓軸題）設(shè)數(shù)列{a}滿足a1=2,an+1=an+n1an(n=1,2,L).（Ⅰ）證明an2n+1對(duì)一切正整數(shù)n成立；（Ⅱ）令bn=ann(n=1,2,L)，判定b與bnn+1的大小，并說明理由例1已知n206。N*，求1+例1設(shè)an=1+2a+3+?+1n＜2n+a+L+1na,a179。：an二、均值不等式放縮證明不等式 例2設(shè)Sn=例3已知函數(shù)f(x)=例3已知a,b為正數(shù)，且a+b1=12+23+L+n(n+1).求證n(n+1)2Sn(n+1).4xx1+4求證：f(1)+f(2)+L+f(n)n+n+1.，試證：對(duì)每一個(gè)n206。N*，(a+b)nab179。2nn2n2n+1.策略三、調(diào)整分式值放縮證明數(shù)列不等式（尾式或局部放縮）一個(gè)分式若分母不變分子變大則分式值變大，若分子不變分母變大則分式值變??；一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大（“加糖不等式”）姐妹不等式:bab+ma+m(ba0,m0)和bab+ma+m(ab0,m0)例3（福建理22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*)（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足4b1明:例3證明：(1+1)(1+3)(1+5)L(1+2n1)即證：135L(2n1)例3證明:(1+1)(1+)(1+)L(1+713n2)－1 b2－24?4bn－1=(an+1)bn(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列。（Ⅲ）證n23＜a1a2+a2a3+188。+anan+1＜n2(n∈N).*2n+1和(112)(1114)(116)L(1+12n)12n+1246L2n2n+1和135L(2n1)246L2n2n+13n+已知a、b、c為三角形的三邊，求證：1＜例3求證:13+1+13180。2+1+L+132n1abc＋＋＜2。b+ca+ca+b+1策略四、單調(diào)性放縮證明不等式例4（湖南理19）已知函數(shù)f(x)=xsinx,數(shù)列{an}滿足:0a11,an+1=f(an),n=1,2,3,:（I）．0an+1an1。（II）．a(chǎn)n+1例42（遼寧理21）已知函數(shù)f(x)=ax0a12,an+1=f(an),n206。N*x的最大值不大于.16，又當(dāng)x206。[11,]42時(shí)f(x)179。.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設(shè)，證明an1n+1x1例4（北京理19）數(shù)列{xn}由下列條件確定：xn+1==a0，1230。a246。231。xn+247。,n206。N．（I）證明：對(duì)n179。2總有xn179。231。247。2232。xn248。a；(II)證明：對(duì)n179。2總有xn179。xn+1例4設(shè)Sn=2+例4求證：(1+1)(1+)(1+)L(1+12n1)2n+3+L+n(n+1).求證n(n+1)2Sn(n+1)2.策略五：二項(xiàng)式放縮證明不等式nn01nn012=(1+1)=Cn+Cn+L+Cn,2179。Cn+Cn=n+1,2179。C+C+C=例5已知a1=1,an+1=(1+例5證明2163。(1+n例5設(shè)n1,n206。N，求證(3)n0n1n2nn+n+2212n.證明ann(n1)(n179。2)e1n+n)an+n1n)8(n+1)(n+2)策略六：遞推放縮證明數(shù)列不等式例6（全國(guó)高考）設(shè)數(shù)列{a}滿足an+1=annan+1(n206。N+)，當(dāng)a1179。3時(shí)證明對(duì)所有n179。1, 有(i)an179。n+2；n(ii)11+a1+11+a2+L+11+an163。例6(重慶理22壓軸題)數(shù)列{an}滿足a1=1且an+1=(1+1n+n)an+2n(n179。1).（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：an179。2(n179。2)；（Ⅱ）已知不等式ln(1+x)x對(duì)x0成立,證明:ane(n179。1)，其中無理數(shù)e187。例6（湖北理22壓軸題）已知不等式12+13+L+1n12[logn],n206。N,n2.[log*2n]表示不超過log2b,n179。 的最大整數(shù)。設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1=b(b0),an163。nan1n+an1,n179。2,n206。N+，證明：an2+b[logn]例6（浙江理20壓軸題）已知函數(shù)f（x）=x3+x2，數(shù)列{xn}（xn＞0）的第一項(xiàng)x1=1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：*曲線y=f（x）在（xn+！，f（xn+?。┨幍那芯€與經(jīng)過（0，0）和（xn，f（xn））兩點(diǎn)直線平行（如圖）。求證：當(dāng)n∈N時(shí)2（Ⅰ）xn+xn=3xn+1+2xn+1（Ⅱ）()n11n2163。xn163。()策略七：分項(xiàng)討論放縮證明數(shù)列不等式例（2004年全國(guó)3理22壓軸題）（14分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an+(1)n,n179。1.（1）寫出數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1,a2,a3；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)m4，有策略八： 數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式例8（江西理21倒二題）（12分）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)（1）證明anan+12,n206。N。（2）求數(shù)列{an}（江西理22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝1a4+1a5+L+1am.,且滿足:a0=1,an+1=an,(4an),n206。N.，且an＝n179。2，n206。N）（1）求數(shù)列｛an｝2an－1＋n－13nan－1*的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1a2??an2n！第五篇：放縮法證明數(shù)列不等式經(jīng)典例題放縮法證明數(shù)列不等式主要放縮技能： =2= nn+1n(n+1)nn(n1)n1n114411===2()22n4n1(2n+1)(2n1)2n12n+1n242.=== ===2)= ====== ==(21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)+22(n+1)n11== n(n+1)2n+1n(n+1)2n+1n2n(n+1)2n+1x2x+n*c=(n206。N)=的最小值為，最大值為，且abnnn2x+1（1）求；（2）證明：：161+{an}的前n項(xiàng)的和為sn，且an+2（1）求證：數(shù)列sn是等差數(shù)列； 11117+++L+ 444c14c2c34+L+17 1=2sn，n206。N*； an{}（2）解關(guān)于數(shù)列n的不等式：an+1(sn+1+sn)4n8（3）記bn=2sn,Tn=331111Tn+++L+，證明：1 2b1b2b3bn{an}滿足：237。n+2236。an252。an+1； 253。是公差為1的等差數(shù)列，且an+1=nn238。254。（1）求an；（2++L2 {an}中，已知a1=2,an+1an=2anan+1；（1）求an；（2）證明：a1(a11)+a2(a21)+a3(a31)+L+an(an1)32n+{an}滿足：a1=2,an+1=； n(n+)an+225112n（1）設(shè)bn=，求bn；（2）記=，求證：163。c1+c2+c3+L+ 162n(n+1)an+1an{an}的前n項(xiàng)的和為sn滿足：sn1,6sn=(an+1)(an+2)；（1）求an；（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足an(2n1)=1,并記Tn=b1+b2+b3+L+bn，b求證：3Tn+1log2n(a+3)（函數(shù)的單調(diào)性，貝努力不等式，構(gòu)造，數(shù)學(xué)歸納法）{an}滿足：a1=1,nan+1(n+1)an=+1，anan+1記b1=a1,bn=n[a1+（1）求an；（2）證明：(1+2111++L+](n179。2)。222a2a3an11111)(1+)(1+)L(1+)4 b1b2b3bn4