利用放縮法證明不等式舉例-資料下載頁
2024-10-27 12:24本頁面
【正文】 矢，、放大或縮小“因式”；n已知數(shù)列{an}滿足an+1=a,0a1163。,求證：229。(akak+1)ak+2322k=1n證明 Q0a1163。n11112,an+1=an,\a2=a12163。,a3163。L.\當(dāng)k179。1時,0ak+2163。a3163。, 2416161n11163。229。(akak+1)=(a1an+1).16k=11632\229。(akak+1)ak+2k=1本題通過對因式ak+2放大，而得到一個容易求和的式子逐項(xiàng)放大或縮小229。(ak=1nkak+1)，(n+1)(n+1)2an例設(shè)an=180。2+2180。3+180。4+L+n(n+1)求證 22122n+12證明：∵ n(n+1)n=nn(n+1)(n+)=2n+1n(n+1)(n+1)21+3+L+(2n+1)∴ 1+2+3+L+nan，∴an2222n+1本題利用n，對an中每項(xiàng)都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的∴ nn(n+1)數(shù)列，達(dá)到化簡的目的。固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)； 例求證：11117+++L+ 2222123n4證明：Q1=2nn(n1)n1n\1111111115117+++L+1++(+L+)=+().22222123n223n1n42n4此題采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時，不一定從第一項(xiàng)開始，須根據(jù)具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。利用基本不等式放縮例已知an=5n41對任何正整數(shù)m，n都成立.1，只要證5amn1+aman+因?yàn)?amn=5mn4，aman=(5m4)(5n4)=25mn20(m+n)+16，故只要證5(5mn4)1+25mn20(m+n)+16+ 即只要證20m+20n37因?yàn)閍m+an=5m+5n85m+5n8+(15m+15n29)=20m+20n37，再利用基本不等式由am+、先適當(dāng)組合, 排序, 再逐項(xiàng)比較或放縮例.已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)＞(1+n)iinm證明：(1)對于1＜i≤m，且Aim =m…(m－i+1)，Aimmm1Aimnn1mi+1ni+1，=L,同理=Liimmmnnnmn由于m＜n，對于整數(shù)k=1，2，…，i－1，有nkmk，nmAinAim所以ii,即miAinniAimnm(2)由二項(xiàng)式定理有：2n2n(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知mAini＞nAimi(1＜i≤m＜n)，而Cim∴miCin＞niCim(1＜m＜n)AimiAin= ,Cn=i!i!00222211∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=mn，mCn＞nCm，…，mmm+1m+1mmCmCn＞0，…，mnCnn＞nCm，mn＞0，2n222n1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm＞1+Cmn+Cmn+…+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的特征選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ袝r還需要幾種方法融為一體。在證明過程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得不出結(jié)論或得到相反的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點(diǎn)。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。希望大家能夠進(jìn)一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調(diào)整手段.
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