【正文】 1an\=1an11a21an+111a2006\++L+=（1a1111a211)+（1a211a31)+L+（1a200611a20071)=a11a200711=1a1a2La20061又a1a2La2006a12006=22006\11a1a2La200612006\原不等式得證。5．已知數(shù)列{an}中an=iinnn21，求證：229。ai(ai1)=1方法一：ai(ai1)=ni2121iii(21)(22)=ii1i1(21)(21)=i11121i.\229。i=1ai(ai1)(21)+（121121)+（121121)+L+（12n11121n)=3121n：ai(ai1)=ii(21)=i122+i122i122+i163。22ii1.(i179。2)n\229。i=1ai(ai1)2+++L+n1=2+(112)=3n1n1法3：數(shù)歸證\229。i=1ai(ai1)3121n3.（即轉(zhuǎn)化為證明加強(qiáng)命題）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x，數(shù)列{an}滿足：a1=2,ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)．（1）求證：ln(1+x)163。x；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）求證不等式：a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2)． 解：（1）f(x)=ln(1+x)x，f39。(x)=11+x1=x1+x，當(dāng)1x0時(shí)，f39。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x0時(shí)，f39。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)．所以f39。(0)=0，即x=0是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)f(x)=ln(1+x)x163。f(0)=0222。ln(1+x)163。x，當(dāng)x=0時(shí)取到等號．（2）法1：數(shù)學(xué)歸納法（先猜想，再證明）法2：由ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)得2an+1=an+1an+1，an+1=12an，an+11=12an1=an12an，1an+11=1an11，即數(shù)列237。236。252。1=2，公差為1，是等差數(shù)列，首項(xiàng)為253。a11238。an1254。nn+1∴an1=n1222。an=．（3）法1：a1+a2+L+an=111+1+112+1+L+111246。230。1=n231。++L+247。23n+1n+1232。248。又∵x0時(shí)，有xln(1+x)，令x=1n+1230。1232。20，則1246。n+2230。ln231。1+=ln 247。n+1n+1248。n+1232。1∴n231。+3+L+345n+1n+2246。246。230。nln+ln+ln+L+ln+ln247。231。247。 n+1248。234nn+1232。248。n+2246。n+2=nl=n+247。n+1248。2=n231。ln180。232。230。343180。L180。ln2n) (nl+∴a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2) ． 法2：積分法要證原命題，即證：231。230。1232。2246。247。ln(n+2)ln2 n+1248。1++L+11246。230。1++L+231。247。3n+1248。232。2230。1232。2n+2242。1xdx=lnxn+22法3：數(shù)歸證明：、（1）求證：2n++L+246。247。ln(n+2)ln2 n+1248。+2n+1(n2,n206。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。1+x證明x第四篇：放縮法證明數(shù)列不等式經(jīng)典例題放縮法證明數(shù)列不等式主要放縮技能： =2= nn+1n(n+1)nn(n1)n1n114411===2()22n4n1(2n+1)(2n1)2n12n+1n242.=== ===2)= ====== ==(21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)+22(n+1)n11== n(n+1)2n+1n(n+1)2n+1n2n(n+1)2n+1x2x+n*c=(n206。N)=的最小值為，最大值為，且abnnn2x+1（1）求；（2）證明：：161+{an}的前n項(xiàng)的和為sn，且an+2（1）求證：數(shù)列sn是等差數(shù)列； 11117+++L+ 444c14c2c34+L+17 1=2sn，n206。N*； an{}（2）解關(guān)于數(shù)列n的不等式：an+1(sn+1+sn)4n8（3）記bn=2sn,Tn=331111Tn+++L+，證明：1 2b1b2b3bn{an}滿足：237。n+2236。an252。an+1； 253。是公差為1的等差數(shù)列，且an+1=nn238。254。（1）求an；（2++L2 {an}中，已知a1=2,an+1an=2anan+1；（1）求an；（2）證明：a1(a11)+a2(a21)+a3(a31)+L+an(an1)32n+{an}滿足：a1=2,an+1=； n(n+)an+225112n（1）設(shè)bn=，求bn；（2）記=，求證：163。c1+c2+c3+L+ 162n(n+1)an+1an{an}的前n項(xiàng)的和為sn滿足：sn1,6sn=(an+1)(an+2)；（1）求an；（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足an(2n1)=1,并記Tn=b1+b2+b3+L+bn，b求證：3Tn+1log2n(a+3)（函數(shù)的單調(diào)性，貝努力不等式，構(gòu)造，數(shù)學(xué)歸納法）{an}滿足：a1=1,nan+1(n+1)an=+1，anan+1記b1=a1,bn=n[a1+（1）求an；（2）證明：(1+2111++L+](n179。2)。222a2a3an11111)(1+)(1+)L(1+)4 b1b2b3bn4第五篇：2012高考專題數(shù)列與不等式放縮法高考專題——放縮法一、基本方法1.“添舍”放縮通過對不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。，b為不相等的兩正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證1＜a＋b＜、b、c不全為零，求證：。a+ab+b+2+bc+c2+c2+ac+a2＞3（a+b+c）2[變式訓(xùn)練]已知an=2n1(n206。N*).求證：an1a1a2++...+n(n206。N*).23a2a3an+一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。、b、c為三角形的三邊，求證：1＜若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來解題?！蔔*，求1+a＋b＋c＜2。a+ca+b12+1+?+1n＜2n。n(n+1)(n+1)=180。2+2180。3+L+n(n+1)，求證：an22對所有正整數(shù)n都成立。*利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。n2x1*(x)=x，證明：對于n206。N且n179。3都有f(n)。n+12+1(x)=+x2，求證：當(dāng)a185。b時(shí)f（a）f（b）ab。對于不等式的某個(gè)部分進(jìn)行換元，可顯露問題的本質(zhì)，然后隨機(jī)進(jìn)行放縮，可達(dá)解題目的。bc，求證++0。abbcca，b，c為△ABC的三條邊，且有a2+b2=c2，當(dāng)n206。N*且n179。3時(shí)，求證：an+bn。根據(jù)題目特征，通過構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。，b∈R，“因式”；a+b1+a+b163。a1+a+b1+b。n例已知數(shù)列{an}滿足an+1=a,0a1163。,求證：229。(akak+1)ak+2.232k=1n，放縮另外的項(xiàng)； 例求證：11117+++L+ 122232n2例已知an=5n41對任何正整數(shù)m，, 排序, 再逐項(xiàng)比較或放縮例.已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)iin＞(1+n)m二、放縮法綜合問題（一）、先求和后放縮例1．正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn，滿足2Sn=an+1，試求：（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Bn，求證：Bn。2anan+1（二）、先放縮再求和（或先求和再放縮）例、函數(shù)f（x）=4x1+4x，求證：f（1）+f（2）+?+f（n）n+12n+1(n206。N*).21．放縮后成等差數(shù)列，再求和例2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an+an=+an+12(1)求證：Sn；(2)2．放縮后成等比數(shù)列，再求和例3．（1）設(shè)a，n∈N*，a≥2，證明：a2n(a)n179。(a+1)an；（2）等比數(shù)列{an}中，a1=，前n項(xiàng)的和為An，且A7，A9，A8成等差數(shù)列．設(shè)a1bn=n，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和為Bn，證明：Bn＜．31an3．放縮后為差比數(shù)列，再求和例4．已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=(1+n)an(n=1,2,3L)．求證： n2an+1an179。3n+12n1n4．放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和例已知an=n，求證：∑k=1akk＜3．