【正文】 n+1=a,0a1163。,求證：229。(akak+1)ak+2.232k=1n證明 Q0a1163。n11112,an+1=an,\a2=a12163。,a3163。L.\當k179。1時,0ak+2163。a3163。, 241616\229。(akak+1)ak+2k=11n11163。229。(akak+1)=(a1an+1).16k=11632本題通過對因式ak+2放大，而得到一個容易求和的式子逐項放大或縮小229。(ak=1nkak+1)，(n+1)(n+1)2an例設an=180。2+2180。3+3180。4+L+n(n+1)求證： 22122n+12證明：∵ n(n+1)n=nn(n+1)(n+)=2n+1∴ nn(n+1)1+3+L+(2n+1)n(n+1)(n+1)2an∴ 1+2+3+L+nan，∴2222n+1本題利用n，對an中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達到化簡的目的。固定一部分項，放縮另外的項；例求證：11117+++L+ 122232n24證明：Q1=n2n(n1)n1n\1111111115117+++L+1++(+L+)=+().122232n22223n1n42n4此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據(jù)具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。利用基本不等式放縮例已知an=5n41對任何正整數(shù)m，n都成立.1，只要證5amn1+aman+.因為 amn=5mn4，aman=(5m4)(5n4)=25mn20(m+n)+16，故只要證5(5mn4)1+25mn20(m+n)+16+ 即只要證20m+20n37因為am+an=5m+5n85m+5n8+(15m+15n29)=20m+20n37，再利用基本不等式由am+、先適當組合, 排序, 再逐項比較或放縮 例.已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)＞(1+n)iinm證明：(1)對于1＜i≤m，且Aim =m…(m－i+1)，Aimmm1Aimnn1mi+1ni+1=L,同理=L，mmmnnnmini由于m＜n，對于整數(shù)k=1，2，…，i－1，有nkmk，nmAinAim所以ii,即miAinniAimnm(2)由二項式定理有：22nn(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知mAini＞nAimi(1＜i≤m＜n)，而CimAimiAin,Cn== i!i!∴miCin＞niCim(1＜m＜n)00222211∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=mn，mCn＞nCm，…，mmm+1m+1mmCmCn＞0，…，mnCnn＞nCm，mn＞0，2222nn1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm＞1+Cmn+Cmn+…+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關鍵在于根據(jù)問題的特征選擇恰當?shù)姆椒ǎ袝r還需要幾種方法融為一體。在證明過程中，適當?shù)剡M行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得不出結論或得到相反的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標尤為重要。要想正確確定放縮目標，就必須根據(jù)欲證結論，抓住題目的特點。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。希望大家能夠進一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調整手段.第五篇：裂項放縮證明數(shù)列不等式策略一、裂項放縮證明數(shù)列不等式若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關的n項和，可采用數(shù)列中裂項求和等方法來解題。例1（全國I理22壓軸題）設數(shù)列{an}的前n項的和Sn=項an；（Ⅱ）設Tn=2n43an180。2n+1+23，n=1,2,3,ggg（Ⅰ）求首項a1與通nSn，n=1,2,3,ggg，證明：229。Tii=1例1（湖北理17）已知二次函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為f39。(x)=6x2，數(shù)列{an}的前n項*和為Sn，點(n,Sn)(n206。N)均在函數(shù)y=f(x)的圖像上。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn=3anan+1，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tnm20對所有n206。N*都成立的最小正整數(shù)m；例1（重慶理22壓軸題）設數(shù)列{a}滿足a1=2,an+1=an+n1an(n=1,2,L).（Ⅰ）證明an2n+1對一切正整數(shù)n成立；（Ⅱ）令bn=ann(n=1,2,L)，判定b與bnn+1的大小，并說明理由例1已知n206。N*，求1+例1設an=1+2a+3+?+1n＜2n+a+L+1na,a179。：an二、均值不等式放縮證明不等式 例2設Sn=例3已知函數(shù)f(x)=例3已知a,b為正數(shù)，且a+b1=12+23+L+n(n+1).求證n(n+1)2Sn(n+1).4xx1+4求證：f(1)+f(2)+L+f(n)n+n+1.，試證：對每一個n206。N*，(a+b)nab179。2nn2n2n+1.策略三、調整分式值放縮證明數(shù)列不等式（尾式或局部放縮）一個分式若分母不變分子變大則分式值變大，若分子不變分母變大則分式值變?。灰粋€真分式，分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大（“加糖不等式”）姐妹不等式:bab+ma+m(ba0,m0)和bab+ma+m(ab0,m0)例3（福建理22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*)（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足4b1明:例3證明：(1+1)(1+3)(1+5)L(1+2n1)即證：135L(2n1)例3證明:(1+1)(1+)(1+)L(1+713n2)－1 b2－24?4bn－1=(an+1)bn(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列。（Ⅲ）證n23＜a1a2+a2a3+188。+anan+1＜n2(n∈N).*2n+1和(112)(1114)(116)L(1+12n)12n+1246L2n2n+1和135L(2n1)246L2n2n+13n+已知a、b、c為三角形的三邊，求證：1＜例3求證:13+1+13180。2+1+L+132n1abc＋＋＜2。b+ca+ca+b+1策略四、單調性放縮證明不等式例4（湖南理19）已知函數(shù)f(x)=xsinx,數(shù)列{an}滿足:0a11,an+1=f(an),n=1,2,3,:（I）．0an+1an1。（II）．a(chǎn)n+1例42（遼寧理21）已知函數(shù)f(x)=ax0a12,an+1=f(an),n206。N*x的最大值不大于.16，又當x206。[11,]42時f(x)179。.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設，證明an1n+1x1例4（北京理19）數(shù)列{xn}由下列條件確定：xn+1==a0，1230。a246。231。xn+247。,n206。N．（I）證明：對n179。2總有xn179。231。247。2232。xn248。a；(II)證明：對n179。2總有xn179。xn+1例4設Sn=2+例4求證：(1+1)(1+)(1+)L(1+12n1)2n+3+L+n(n+1).求證n(n+1)2Sn(n+1)2.策略五：二項式放縮證明不等式nn01nn012=(1+1)=Cn+Cn+L+Cn,2179。Cn+Cn=n+1,2179。C+C+C=例5已知a1=1,an+1=(1+例5證明2163。(1+n例5設n1,n206。N，求證(3)n0n1n2nn+n+2212n.證明ann(n1)(n179。2)e1n+n)an+n1n)8(n+1)(n+2)策略六：遞推放縮證明數(shù)列不等式例6（全國高考）設數(shù)列{a}滿足an+1=annan+1(n206。N+)，當a1179。3時證明對所有n179。1, 有(i)an179。n+2；n(ii)11+a1+11+a2+L+11+an163。例6(重慶理22壓軸題)數(shù)列{an}滿足a1=1且an+1=(1+1n+n)an+2n(n179。1).（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明：an179。2(n179。2)；（Ⅱ）已知不等式ln(1+x)x對x0成立,證明:ane(n179。1)，其中無理數(shù)e187。例6（湖北理22壓軸題）已知不等式12+13+L+1n12[logn],n206。N,n2.[log*2n]表示不超過log2b,n179。 的最大整數(shù)。設正項數(shù)列{an}滿足：a1=b(b0),an163。nan1n+an1,n179。2,n206。N+，證明：an2+b[logn]例6（浙江理20壓軸題）已知函數(shù)f（x）=x3+x2，數(shù)列{xn}（xn＞0）的第一項x1=1，以后各項按如下方式取定：*曲線y=f（x）在（xn+！，f（xn+?。┨幍那芯€與經(jīng)過（0，0）和（xn，f（xn））兩點直線平行（如圖）。求證：當n∈N時2（Ⅰ）xn+xn=3xn+1+2xn+1（Ⅱ）()n11n2163。xn163。()策略七：分項討論放縮證明數(shù)列不等式例（2004年全國3理22壓軸題）（14分）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an+(1)n,n179。1.（1）寫出數(shù)列{an}的前三項a1,a2,a3；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）證明：對任意的整數(shù)m4，有策略八： 數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式例8（江西理21倒二題）（12分）已知數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)（1）證明anan+12,n206。N。（2）求數(shù)列{an}（江西理22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝1a4+1a5+L+1am.,且滿足:a0=1,an+1=an,(4an),n206。N.，且an＝n179。2，n206。N）（1）求數(shù)列｛an｝2an－1＋n－13nan－1*的通項公式；（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1a2??an2n！