【正文】 n！。a22，n206。（2）求數(shù)列{an}（江西理22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝1a4+1a5+L+1am.,且滿足:a0=1,an+1=an,(4an),n206。1.（1）寫出數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1,a2,a3；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)m4，有策略八： 數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式例8（江西理21倒二題）（12分）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)（1）證明anan+12,n206。xn163。N+，證明：an2+b[logn]例6（浙江理20壓軸題）已知函數(shù)f（x）=x3+x2，數(shù)列{xn}（xn＞0）的第一項(xiàng)x1=1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：*曲線y=f（x）在（xn+！，f（xn+?。┨幍那芯€與經(jīng)過（0，0）和（xn，f（xn））兩點(diǎn)直線平行（如圖）。nan1n+an1,n179。 的最大整數(shù)。例6（湖北理22壓軸題）已知不等式12+13+L+1n12[logn],n206。2)；（Ⅱ）已知不等式ln(1+x)x對(duì)x0成立,證明:ane(n179。1).（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：an179。n+2；n(ii)11+a1+11+a2+L+11+an163。3時(shí)證明對(duì)所有n179。2)e1n+n)an+n1n)8(n+1)(n+2)策略六：遞推放縮證明數(shù)列不等式例6（全國高考）設(shè)數(shù)列{a}滿足an+1=annan+1(n206。(1+n例5設(shè)n1,n206。Cn+Cn=n+1,2179。2總有xn179。xn248。247。2總有xn179。,n206。231。.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設(shè)，證明an1n+1x1例4（北京理19）數(shù)列{xn}由下列條件確定：xn+1==a0，1230。N*x的最大值不大于.16，又當(dāng)x206。b+ca+ca+b+1策略四、單調(diào)性放縮證明不等式例4（湖南理19）已知函數(shù)f(x)=xsinx,數(shù)列{an}滿足:0a11,an+1=f(an),n=1,2,3,:（I）．0an+1an1。+anan+1＜n2(n∈N).*2n+1和(112)(1114)(116)L(1+12n)12n+1246L2n2n+1和135L(2n1)246L2n2n+13n+已知a、b、c為三角形的三邊，求證：1＜例3求證:13+1+13180。2nn2n2n+1.策略三、調(diào)整分式值放縮證明數(shù)列不等式（尾式或局部放縮）一個(gè)分式若分母不變分子變大則分式值變大，若分子不變分母變大則分式值變??；一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大（“加糖不等式”）姐妹不等式:bab+ma+m(ba0,m0)和bab+ma+m(ab0,m0)例3（福建理22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*)（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足4b1明:例3證明：(1+1)(1+3)(1+5)L(1+2n1)即證：135L(2n1)例3證明:(1+1)(1+)(1+)L(1+713n2)－1 b2－24?4bn－1=(an+1)bn(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列。：an二、均值不等式放縮證明不等式 例2設(shè)Sn=例3已知函數(shù)f(x)=例3已知a,b為正數(shù)，且a+b1=12+23+L+n(n+1).求證n(n+1)2Sn(n+1).4xx1+4求證：f(1)+f(2)+L+f(n)n+n+1.，試證：對(duì)每一個(gè)n206。N*都成立的最小正整數(shù)m；例1（重慶理22壓軸題）設(shè)數(shù)列{a}滿足a1=2,an+1=an+n1an(n=1,2,L).（Ⅰ）證明an2n+1對(duì)一切正整數(shù)n成立；（Ⅱ）令bn=ann(n=1,2,L)，判定b與bnn+1的大小，并說明理由例1已知n206。N)均在函數(shù)y=f(x)的圖像上。Tii=1例1（湖北理17）已知二次函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f39。例1（全國I理22壓軸題）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn=項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn=2n43an180。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。因此，使用放縮法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。在證明過程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。(m－i+1)，Aimmm1Aimnn1mi+1ni+1=L,同理=L，mmmnnnmini由于m＜n，對(duì)于整數(shù)k=1，2，…，i－1，有nkmk，nmAinAim所以ii,即miAinniAimnm(2)由二項(xiàng)式定理有：22nn(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知mAini＞nAimi(1＜i≤m＜n)，而CimAimiAin,Cn== i!i!∴miCin＞niCim(1＜m＜n)00222211∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=m利用基本不等式放縮例已知an=5n41對(duì)任何正整數(shù)m，n都成立.1，只要證5amn1+aman+.因?yàn)?amn=5mn4，aman=(5m4)(5n4)=25mn20(m+n)+16，故只要證5(5mn4)1+25mn20(m+n)+16+ 即只要證20m+20n37因?yàn)閍m+an=5m+5n85m+5n8+(15m+15n29)=20m+20n37，再利用基本不等式由am+、先適當(dāng)組合, 排序, 再逐項(xiàng)比較或放縮 例.已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)＞(1+n)iinm證明：(1)對(duì)于1＜i≤m，且Aim =m4+L+n(n+1)求證： 22122n+12證明：∵ n(n+1)n=nn(n+1)(n+)=2n+1∴ nn(n+1)1+3+L+(2n+1)n(n+1)(n+1)2an∴ 1+2+3+L+nan，∴2222n+1本題利用n，對(duì)an中每項(xiàng)都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。2+2180。(akak+1)=(a1an+1).16k=11632本題通過對(duì)因式ak+2放大，而得到一個(gè)容易求和的式子逐項(xiàng)放大或縮小229。(akak+1)ak+2k=11n11163。a3163。L.\當(dāng)k179。n11112,an+1=an,\a2=a12163。,求證：229。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。N*).2證明：由f(n)= 4n1+4n=1111 1+4n22n2211得f（1）+f（2）+…+f（n）1+11222+L+1122n 11111=n(1+++L+n1)=n+n+1(n206。N*).23a2a3an+12若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。.,k=1,2,...,n, ak+12122(2k+11)+2k2232k\aa1a2n1111n11n1++...+n179。N*).求證：an1a1a2++...+n(n206。下面結(jié)合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略。“放縮法”它可以和很多知識(shí)內(nèi)容結(jié)合，對(duì)應(yīng)變能力有較高的要求。1+x證明x第四篇：放縮法(不等式、數(shù)列綜合應(yīng)用)“放縮法”證明不等式的基本策略近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，而不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，它可以考察學(xué)生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。+2n+1(n2,n206。247。2n+2242。2230。3n+1248。1++L+231。1++L+11246。247。1232。ln2n) (nl+∴a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2) ． 法2：積分法要證原命題，即證：231。343180。232。2=n231。n+2=nl=n+247。248。 n+1248。231。230。+3+L+345n+1n+2246。n+1232。1+=ln 247。n+2230。1232。248。++L+247。230。nn+1∴an1=n1222。a11238。252。x，當(dāng)x=0時(shí)取到等號(hào)．（2）法1：數(shù)學(xué)歸納法（先猜想，再證明）法2：由ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)得2an+1=an+1an+1，an+1=12an，an+11=12an1=an12an，1an+11=1an11，即數(shù)列237。f(0)=0222。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)．所以f39。(x)=11+x1=x1+x，當(dāng)1x0時(shí)，f39。i=1ai(ai1)3121n3.（即轉(zhuǎn)化為證明加強(qiáng)命題）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x，數(shù)列{an}滿足：a1=2,ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)．（1）求證：ln(1+x)163。2)n\229。i=1ai(ai1)(21)+（121121)+（121121)+L+（12n11121n)=3121n：ai(ai1)=ii(21)=i122+i122i122+i163。5．已知數(shù)列{an}中an=iinnn21，求證：229。（2）由an+1=anan+1得：an+11=an(an1)\an1=an1(an11)……a21=a1(a11)以上各式兩邊分別相乘得：an+11=anan1La2a1(a11)，又a1=2\an+1=anan1La2a1+1（3）要證不等式120061a1+1a2+L+1a20061，可先設(shè)法求和：1a1+1a2+L+a2006，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。（3）120061a1+1a2+L+1a20061。2**（2）當(dāng)n2且n206。N*證明：（1）對(duì)于n206。aii=1n2法1：均值不等式：即證++715n2+...+212n+1n1+n2也即：++715+...+212nn+1