數(shù)列型不等式的放縮技巧九法(參考版)
2025-06-28 02:18本頁(yè)面
【正文】 （Ⅰ）略，只證（Ⅱ）：法1 由為下凸函數(shù)得 又，所以考慮試題的編擬初衷，是為了考查數(shù)學(xué)歸納法，于是借鑒詹森（jensen）不等式（若為上的下凸函數(shù)，則對(duì)任意，有 特別地，若則有 若為上凸函數(shù)則改“”為“”）的證明思路與方法有：法2 （用數(shù)學(xué)歸納法證明）（i）當(dāng)n=1時(shí)，由（Ⅰ）知命題成立.（ii）假定當(dāng)時(shí)命題成立，即若正數(shù)，則當(dāng)時(shí)，若正數(shù)（*）為利用歸納假設(shè)，將（*）式左邊均分成前后兩段：令則為正數(shù)，且由歸納假定知 （1）同理，由得（2）綜合（1）（2）兩式即當(dāng)時(shí)命題也成立. 根據(jù)（i）、（ii）可知對(duì)一切正整數(shù)n命題成立.法3 構(gòu)造函數(shù)利用（Ⅰ）知，當(dāng)對(duì)任意. ② （②式是比①式更強(qiáng)的結(jié)果）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.（i）當(dāng)n=1時(shí)，由（I）知命題成立.（ii）設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù) 對(duì)（*）式的連續(xù)兩項(xiàng)進(jìn)行兩兩結(jié)合變成項(xiàng)后使用歸納假設(shè)，并充分利用②式有由歸納法假設(shè) 得 即當(dāng)時(shí)命題也成立. 所以對(duì)一切正整數(shù)n命題成立. 注：式②也可以直接使用函數(shù)下凸用（Ⅰ）中結(jié)論得到；為利用歸納假設(shè)，也可對(duì)（*）式進(jìn)行對(duì)應(yīng)結(jié)合：而變成項(xiàng)；本題可作推廣：若正數(shù)滿足，則（簡(jiǎn)證：構(gòu)造函數(shù)，易得故） 10 / 10。八 分項(xiàng)討論 例20 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足 （Ⅰ）寫出數(shù)列的前3項(xiàng)；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）證明：對(duì)任意的整數(shù)，有（04年全國(guó)卷Ⅲ） 簡(jiǎn)析 （Ⅰ）略，（Ⅱ） ；（Ⅲ）由于通項(xiàng)中含有，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論：當(dāng)且為奇數(shù)時(shí) （減項(xiàng)放縮），于是 ①當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)②當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)（添項(xiàng)放縮）由①知由①②得證。故2176。得，179。1－（）……3176。顯然，左端每個(gè)因
醫(yī)療健康相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1