數(shù)列型不等式的放縮技巧九法(文件)
【正文】 更強(qiáng)的結(jié)果）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.（i）當(dāng)n=1時，由（I）知命題成立.（ii）設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即若正數(shù) 對（*）式的連續(xù)兩項(xiàng)進(jìn)行兩兩結(jié)合變成項(xiàng)后使用歸納假設(shè)，并充分利用②式有由歸納法假設(shè) 得 即當(dāng)時命題也成立. 所以對一切正整數(shù)n命題成立. 注：式②也可以直接使用函數(shù)下凸用（Ⅰ）中結(jié)論得到；為利用歸納假設(shè)，也可對（*）式進(jìn)行對應(yīng)結(jié)合：而變成項(xiàng)；本題可作推廣：若正數(shù)滿足，則（簡證：構(gòu)造函數(shù)，易得故） 10 / 10。八 分項(xiàng)討論 例20 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足 （Ⅰ）寫出數(shù)列的前3項(xiàng)；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）證明：對任意的整數(shù)，有（04年全國卷Ⅲ） 簡析 （Ⅰ）略，（Ⅱ） ；（Ⅲ）由于通項(xiàng)中含有，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論：當(dāng)且為奇數(shù)時 （減項(xiàng)放縮），于是 ①當(dāng)且為偶數(shù)時②當(dāng)且為奇數(shù)時（添項(xiàng)放縮）由①知由①②得證。得，179。顯然，左端每個因式都是正數(shù)，先證明一個加強(qiáng)不等式：對每個n206。a2（2）證：據(jù)1176。a2(ⅱ).（證略）五 換元放縮例15 求證 簡析 令，這里則有，從而有 注：通過換元化為冪的形式，為成功運(yùn)用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。例11 設(shè)，求證.簡析 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得，即，得證.例12 設(shè)數(shù)列滿足 （Ⅰ）證明對一切正整數(shù)成立；（Ⅱ）令，判定與的大小，并說明理由（04年重慶卷理科第（22）題）簡析 本題有多種放縮證明方法，這里我們對（Ⅰ）進(jìn)行減項(xiàng)放縮，有法1 用數(shù)學(xué)歸納法（只考慮第二步）；法2 則四 利用單調(diào)性放縮1． 構(gòu)造數(shù)列如對上述例1，令則，遞減，有，故 再如例4，令則，即遞增，有，得證！ 注：由此可得例4的加強(qiáng)命題并可
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