數(shù)列型不等式的放縮技巧九法(完整版)
【正文】 足，證明（05年全國卷Ⅰ第22題） 解析 這道高考題內(nèi)蘊豐富，有著深厚的科學(xué)背景：直接與高等數(shù)學(xué)的凸函數(shù)有關(guān)！更為深層的是信息科學(xué)中有關(guān)熵的問題。1－（）＝1－＝1－?！璦n2……an2 當時在遞增，故 對(II)有，構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證。例8 設(shè)，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且 解析 引入一個結(jié)論：若則（證略）整理上式得（），以代入（）式得即單調(diào)遞增。 數(shù)列型不等式的放縮技巧九法證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。以代入（）式得此式對一切正整數(shù)都成立，即對一切偶數(shù)有，又因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以對一切正整數(shù)有。注：①本題有著深厚的科學(xué)背景：是計算機開平方設(shè)計迭代程序的根據(jù)；同時有著高等數(shù)學(xué)背景—數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限： ②是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。n?。?6年江西卷理科第22題）解析：（1）將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個等比數(shù)列，其首項為1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n179。n！，只要證n206。故2176。八 分項討論 例20 已知數(shù)列的前項和滿足 （Ⅰ）寫出數(shù)列的前3項；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）證明：對任意的整數(shù)，有（04年全國卷Ⅲ） 簡析 （Ⅰ）略，（Ⅱ） ；（Ⅲ）由于通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：當且為奇數(shù)時 （減項放縮），于是 ①當且為偶數(shù)時②當且為奇數(shù)時（添項放縮）由①知由①②得證。顯然，左端每個因式都是正數(shù)，先證明一個加強不等式：對每個n206。（2）證：據(jù)1176。(ⅱ).（證略）
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