數(shù)列型不等式的放縮技巧九法(已修改)
2025-07-07 02:18 本頁面
【正文】 數(shù)列型不等式的放縮技巧九法證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下九種：一 利用重要不等式放縮1． 均值不等式法例1 設(shè)求證解析 此數(shù)列的通項為，即 注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了?、诟鶕?jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用。 例2 已知函數(shù)，若，且在[0，1]上的最小值為，求證：（02年全國聯(lián)賽山東預(yù)賽題） 簡析 例3 求證.簡析 不等式左邊=，故原結(jié)論成立.2．利用有用結(jié)論例4 求證簡析 本題可以利用的有用結(jié)論主要有： 法1 利用假分?jǐn)?shù)的一個性質(zhì)可得 即 法2 利用貝努利不等式的一個特例(此處)得 注：例4是1985年上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成1998年全國高考文科試題；進(jìn)行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。如理科題的主干是：證明(可考慮用貝努利不等式的特例) 例5 已知函數(shù)求證：對任意且恒成立。（90年全國卷壓軸題） 簡析 本題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，詳參高考評分標(biāo)準(zhǔn)；這里給出運用柯西（）不等式的簡捷證法：而由不等式得(時取等號) （），得證！例6 已知用數(shù)學(xué)歸納法證明；對對都成立，證明（無理數(shù)）（05年遼寧卷第22題）解析 結(jié)合第問
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