數(shù)列型不等式的放縮技巧九法(存儲(chǔ)版)
【正文】 二步）；法2 則四 利用單調(diào)性放縮1． 構(gòu)造數(shù)列如對(duì)上述例1，令則，遞減，有，故 再如例4，令則，即遞增，有，得證！ 注：由此可得例4的加強(qiáng)命題并可改造成為探索性問(wèn)題：求對(duì)任意使恒成立的正整數(shù)的最大值；同理可得理科姊妹題的加強(qiáng)命題及其探索性結(jié)論，讀者不妨一試！ 2．構(gòu)造函數(shù)例13 已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)時(shí)（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，證明（04年遼寧卷第21題）解析 （Ⅰ）=1 ；（Ⅱ）由得 且用數(shù)學(xué)歸納法（只看第二步）：在是增函數(shù)，則得例14 數(shù)列由下列條件確定：，．（I）證明：對(duì)總有；(II)證明：對(duì)總有（02年北京卷第（19）題） 解析 構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)。a2a2得，179。（Ⅰ）略，只證（Ⅱ）：法1 由為下凸函數(shù)得 又，所以考慮試題的編擬初衷，是為了考查數(shù)學(xué)歸納法，于是借鑒詹森（jensen）不等式（若為上的下凸函數(shù)，則對(duì)任意，有 特別地，若則有 若為上凸函數(shù)則改“”為“”）的證明思路與方法有：法2 （用數(shù)學(xué)歸納法證明）（i）當(dāng)n=1時(shí)，由（Ⅰ）知命題成立.（ii）假定當(dāng)時(shí)命題成立，即若正數(shù)，則當(dāng)時(shí)，若正數(shù)（*）為利用歸納假設(shè)，將（*）式左邊均分成前后兩段：令則為正數(shù)，且由歸納假定知 （1）同理，由得（2）綜合（1）（2）兩式即當(dāng)時(shí)命題也成立. 根據(jù)（i）、（ii）可知對(duì)一切正整數(shù)n命題成立.法3 構(gòu)造函數(shù)利用（Ⅰ）知，當(dāng)對(duì)任意. ② （②式是比①式更強(qiáng)的結(jié)果）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.（i）當(dāng)n=1時(shí)，由（I）知命題成立.（ii）設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù) 對(duì)（*）式的連續(xù)兩項(xiàng)進(jìn)行兩兩結(jié)合變成項(xiàng)后使用歸納假設(shè)，并充分利用②式有由歸納法假設(shè) 得 即當(dāng)時(shí)命題也成立. 所以對(duì)一切正整數(shù)n命題成立.
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