【正文】 而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材。 當(dāng)時(shí)在遞增，故 對(duì)(II)有，構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證?！璦n2九 數(shù)學(xué)歸納法例21（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，求的最小值；（Ⅱ）設(shè)正數(shù)滿足，證明（05年全國(guó)卷Ⅰ第22題） 解析 這道高考題內(nèi)蘊(yùn)豐富，有著深厚的科學(xué)背景：直接與高等數(shù)學(xué)的凸函數(shù)有關(guān)！更為深層的是信息科學(xué)中有關(guān)熵的問(wèn)題。得，a1二 部分放縮 例9 設(shè)求證： 解析 又（只將其中一個(gè)變成，進(jìn)行部分放縮），于是例10 設(shè)數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)證明對(duì)所有 有；（02年全國(guó)高考題） 解析 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)成立即，則當(dāng)時(shí)，成立。（90年全國(guó)卷壓軸題） 簡(jiǎn)析 本題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，詳參高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)；這里給出運(yùn)用柯西（）不等式的簡(jiǎn)捷證法：而由不等式得(時(shí)取等號(hào)) （），得證！例6 已知用數(shù)學(xué)歸納法證明；對(duì)對(duì)都成立，證明（無(wú)理數(shù)）（05年遼寧卷第22題）解析 結(jié)合第問(wèn)結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。七 轉(zhuǎn)化為加強(qiáng)命題放縮如上述例10第問(wèn)所證不等式右邊為常數(shù)，難以直接使用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以通過(guò)從特值入手進(jìn)行歸納探索、或運(yùn)用逆向思維探索轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：再用數(shù)學(xué)歸納法證明此加強(qiáng)命題，就容易多了（略）。1－（）……3176。得，179。a2設(shè)正數(shù)數(shù)列滿足：求證（05年湖北卷第（22）題）簡(jiǎn)析 當(dāng)時(shí)，即 于是當(dāng)時(shí)有 注：①本題涉及的和式為調(diào)和級(jí)數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可以利用所給題設(shè)結(jié)論來(lái)進(jìn)行有效地放縮； ②引入有用結(jié)論在解題中即時(shí)應(yīng)用，是近年來(lái)高考創(chuàng)新型試題的一個(gè)顯著特點(diǎn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識(shí)。 注：①上述不等式可加強(qiáng)為簡(jiǎn)證如下： 利用二項(xiàng)展開式