數(shù)列型不等式的放縮技巧九法-資料下載頁
2025-06-25 02:18本頁面
【正文】 整數(shù)，有（04年全國卷Ⅲ） 簡析 （Ⅰ）略，（Ⅱ） ；（Ⅲ）由于通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：當且為奇數(shù)時 （減項放縮），于是 ①當且為偶數(shù)時②當且為奇數(shù)時（添項放縮）由①知由①②得證。九 數(shù)學歸納法例21（Ⅰ）設函數(shù)，求的最小值；（Ⅱ）設正數(shù)滿足，證明（05年全國卷Ⅰ第22題） 解析 這道高考題內蘊豐富，有著深厚的科學背景：直接與高等數(shù)學的凸函數(shù)有關！更為深層的是信息科學中有關熵的問題。（Ⅰ）略，只證（Ⅱ）：法1 由為下凸函數(shù)得 又，所以考慮試題的編擬初衷，是為了考查數(shù)學歸納法，于是借鑒詹森（jensen）不等式（若為上的下凸函數(shù)，則對任意，有 特別地，若則有 若為上凸函數(shù)則改“”為“”）的證明思路與方法有：法2 （用數(shù)學歸納法證明）（i）當n=1時，由（Ⅰ）知命題成立.（ii）假定當時命題成立，即若正數(shù)，則當時，若正數(shù)（*）為利用歸納假設，將（*）式左邊均分成前后兩段：令則為正數(shù)，且由歸納假定知 （1）同理，由得（2）綜合（1）（2）兩式即當時命題也成立. 根據(jù)（i）、（ii）可知對一切正整數(shù)n命題成立.法3 構造函數(shù)利用（Ⅰ）知，當對任意. ② （②式是比①式更強的結果）下面用數(shù)學歸納法證明結論.（i）當n=1時，由（I）知命題成立.（ii）設當n=k時命題成立，即若正數(shù) 對（*）式的連續(xù)兩項進行兩兩結合變成項后使用歸納假設，并充分利用②式有由歸納法假設 得 即當時命題也成立. 所以對一切正整數(shù)n命題成立. 注：式②也可以直接使用函數(shù)下凸用（Ⅰ）中結論得到；為利用歸納假設，也可對（*）式進行對應結合：而變成項；本題可作推廣：若正數(shù)滿足，則（簡證：構造函數(shù)，易得故） 10 / 10
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