數(shù)列型不等式的放縮技巧九法-在線瀏覽
2024-08-05 02:18本頁面
【正文】 ：例4是1985年上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成1998年全國高考文科試題；進行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。 數(shù)列型不等式的放縮技巧九法證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下九種：一 利用重要不等式放縮1． 均值不等式法例1 設(shè)求證解析 此數(shù)列的通項為，即 注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了?、诟鶕?jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用。如理科題的主干是：證明(可考慮用貝努利不等式的特例) 例5 已知函數(shù)求證：對任意且恒成立。于是， 即注：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來放縮： ，即例7 已知不等式表示不超過 的最大整數(shù)。例8 設(shè)，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且 解析 引入一個結(jié)論：若則（證略）整理上式得（），以代入（）式得即單調(diào)遞增。 注：①上述不等式可加強為簡證如下： 利用二項展開式進行部分放縮： 只取前兩項有對通項作如下放縮： 故有②上述數(shù)列的極限存在，為無理數(shù)；同時是下述試題的背景：已知 是正整數(shù)，且（1）證明；（2）證明（01年全國卷理科第20題） 簡析 對第（2）問：用代替得數(shù)列是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列
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