【正文】 條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，明確方向，防止盲目放縮。第二篇：放縮法證明數(shù)列不等式放縮法證明數(shù)列不等式基礎知識回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見的數(shù)列求和方法和通項公式特點：① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項不動，其余項放縮。（3）放縮構(gòu)造裂項相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：① 裂項相消：在放縮時，所構(gòu)造的通項公式要具備“依項同構(gòu)”的特點，即作差的兩項可視為同一數(shù)列的相鄰兩項（或等距離間隔項）② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。例如常數(shù)錯誤！未找到引用源。公比為錯誤！未找到引用源。注：此方法會存在風險，所猜出的等比數(shù)列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進行放縮，受數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)影響（4）與數(shù)列中的項相關的不等式問題：① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形② 在有些關于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達到一側(cè)為錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯誤！未找到引用源。）．（1）求錯誤！未找到引用源。若數(shù)列錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。若不等式錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。定義錯誤！未找到引用源。定義錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。（3）設，求證：.類型二、與通項運算相關的不等式 ！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。的通項；②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。時，設錯誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；②設錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：（1）錯誤！未找到引用源。注：對于錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；（3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。成立？．【江蘇省常州市2018屆高三上學期武進區(qū)高中數(shù)學期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。其中錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；⑵ 設錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。試求數(shù)列錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。使得對于任意錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。．5．【江蘇省啟東中學2018屆高三上學期第一次月考】設數(shù)列錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。時，求證：當錯誤！未找到引用源。．6．【江蘇省泰州中學2018屆高三上學期開學考試】已知兩個無窮數(shù)列分別滿足，其中（1）若數(shù)列（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列，設數(shù)列的前項和分別為的通項公式；，使得，稱數(shù)列.都為遞增數(shù)列，求數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點數(shù)列”，求 為“墜點數(shù)列”，數(shù)列為“墜點數(shù)列”.為“墜點數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，．【江蘇省南京師范大學附屬中學2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。；（2）若錯誤！未找到引用源。．記等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；（2）若 錯誤！未找到引用源。均有錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯誤！未找到引用源。的取值集合；（3）記錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}，{}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。其中n∈N*．（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{}的通項公式；（2）若存在實數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．10．已知各項不為零的數(shù)列錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。．（1）若錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。的通項公式；②在錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）② 等比數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。等比”的形式④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數(shù)列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項（2）與求和相關的不等式的放縮技巧：① 在數(shù)列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項公式入手② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮?。☉c所證的不等號同方向）③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項相消的數(shù)列進行靠攏。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項與公比，進而得出等比數(shù)列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。即可猜想該等比數(shù)列的首項為錯誤！未找到引用源。即通項公式為錯誤！未找到引用源?；蝈e誤！未找到引用源。另一側(cè)為求和的結(jié)果，進而完成證明 應用舉例:類型一：與前n項和相關的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學高三摸底考試】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。的通項公式；（2）設錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。的取值范圍．【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，則有錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。故錯誤！未找到引用源。再將錯誤！未找到引用源。得錯誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。定義錯誤！未找到引用源。定義錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。（3）設，求證：.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。則錯誤！未找到引用源。因此錯誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。故錯誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯誤！未找到引用源。.（2）因為錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．故錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。的通項；②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。時，設錯誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；②設錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。是以錯誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列，當錯誤！未找到引用源。不是等比數(shù)列；②錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯誤！未找到引用源。實戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學期期中】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。記數(shù)列錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。；（2）求錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。即只要滿足 ①：錯誤！未找到引用源。對于①只要錯誤！未找到引用源。為奇數(shù)時，滿足錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，滿足錯誤！未找到引用源。令錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，②式成立，即當錯誤！未找到引用源。．【江蘇省常州市2018屆高三上學期武進區(qū)高中數(shù)學期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。其中錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；⑵ 設錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。試求數(shù)列錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，只要使錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。的取值范圍是錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。當錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。的最大值為錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。使得對于任意錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。．【答案】（1）錯誤！未找到引用源。；（3）錯誤！未找到引用源。將問題轉(zhuǎn)化成錯誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數(shù)的形式。即錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。時，上式成立，因為錯誤！未找到引用源。是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故錯誤！未找到引用源。為奇數(shù)時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。； 當錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！