【正文】 （16）致謝?????????????????????????????????（17）參考文獻(xiàn)???????????????????????????????（18）淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 2 淺談?dòng)梅趴s法證明不等式學(xué)生： 指導(dǎo)老師：淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系摘要：本文介紹了放縮法的基本概念, 在此基礎(chǔ)上總結(jié)出增減放縮法、公式放縮法、利用函數(shù)的性質(zhì)放縮和綜合法等用放縮法證明不等式的常用技巧,以及數(shù)列不等式證明中放縮法的應(yīng)用,。放縮法。適當(dāng)Proving the Inequity by Amplification and MinificationStudent： Guide teacher：Huainan Normal University Department of MathematicsAbstract: This paper introduces the fundamental conception of the amplification and minification on the basis of this, it sums up some monly used skills: increasing or reducing some terms, using important inequality formula, using function properties, synthesis method, and the amplification method to demonstrate the sequence addition, it describes how to make it appropriate in proving the inequality by the amplification and minification method from three do much help to demonstrating words: inequality。skill。：Q(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=12[(ab)2+(bc)+(ca)+3(ab+bc+ca)22]179。3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= 增大（減?。┎坏仁揭贿叺乃许?xiàng)將不等式一邊的各項(xiàng)都增大或減小,[1](02年全國(guó)卷理科第21題)設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=an2nan+1,且an179。12證明：由an+1=an2nan+1,得：an+1=an(ann)+1, Qann179。2an+1,\1+an+1179。121+an11,于是有：1+a211+a311+a4163。21+a211163。21+a3163。11163。1230。231。222232。1+a11=11n21163。n22n(n206。2).1n2=1nn121n(n+1)12=1n1n+11 \122133,1314,L,(n1)2（n2）個(gè)不等式相加,得 122+132+142+L+1(n1)2121n=n22n\122+132+1n2142+L+n22n1(n1)2+1n2n22n+ 增大（減小）分子或分母的值增大或減小不等式一邊分?jǐn)?shù)中分子或分母的值, 5 例4 求證+91125+L+1(2n+1)2114(n206。11246。247。1), 4232。\+L(2n+1)2 1233。1246。11246。249。1234。1247。247。247。 4235。2248。23248。nn+1248。1230。1231。,4232。419125+L+114.=即+ 公式放縮法(2n+1)2即利用已有的大家熟悉的不等式來(lái)進(jìn)行放縮,這里我們主要利用的是均值不等式1以及aba+ma+m,a,b,m206。N,n1,求證：(n!)*2233。：Q12Lnn2221+2+L+nn1622，而12+22+L+n2= 故n1222Lnn 即(n!)2234。16n(n+1)(n+2)(n+1)(2n+1)n233。6 已知:Sn=1180。3+L+n180。a1+a2+L+ann,ai206。nn(n+1)n+(n+1)2 \Sn=1180。3+L+n180。2+2180。(n+1)1+2+L+n= aba+ma+m,a,b,m206。\c1+cc+(a+bc)1+c+(a+bc)=a1+a+b+b1+a+ba1+a+b1+b， 利用函數(shù)的性質(zhì) 利用特殊函數(shù)的單調(diào)性這里的特殊函數(shù)主要指一些已知單調(diào)性的函數(shù), 求證：log23：我們先給出常規(guī)解法；log23log34=lg3lg2lg4lg32=lg3lg2lg4lg2lg322，230。230。230。2Qlg2lg4231。=231。231。=lg3，2232。232。232。 淮南師范學(xué)院2012屆本科畢業(yè)論文 7 \log23log340,\log23,=log827log816log916= 利用特殊函數(shù)的有界性這里的特殊函數(shù)主要指一些大家熟知有界性的函數(shù),如|sinx|163。1,x2179。p,求證：1sina2+1sin2b179。p，\sina0,sinb0,cos(a+b)cos(ab)163。2sinasinb2=4cos(ab)cos(a+b)179。3時(shí),證明：令f(n)=1n+11n+1++1n+21n+2+L+13n+113n+12a5,)，+L+(n206。13121；再由a163。1,比較得： 當(dāng)a163。R,|f(x)f(y)|1證明：利用求導(dǎo)數(shù)、均值不等式或判別式法均可求得：f(x)max=12a,f(x)min=(x)max=1a12a,f(x)min=12a，得163。1a, ，即|f(x)f(y)|max= 故對(duì)x,y206。|f(x)f(y)|max1219。a 已知an=1230。n2232。,t206。2248。2246。求證:Tn2n231。2247。n1246。t+n247。t248。n11246。 231。t248。(t)=令f162。t1時(shí), f162。2時(shí), f162。12從而可知f(t)在[,1]上遞減,在[1,2]上遞增,故：{f(t)}max=max237。247。=2n+238。2248。236。1246。12n\f(t)163。2n+12n12n ,n=1,2,L2n249。111230。230。2nTn163。2+2+L+2++231。+L+231。2232。232。230。249。1231。232。249。246。1+231。232。1246。247。2248。2246。 =2n231。2247。248。n2[7]n(n+1)2=n12+23+L+n(n+1)(n+1)22,(n206。1+2+L+n= 而n(n+1)n(n+1)2 ①1+22+2+32+Ln+(n+1)2 \12+23+Ln(n+1)淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 10 = =32+52+L2n+1212+32+52+L2n+12 ②(1+2n+1)(n+1)22=(n+1)①中運(yùn)用了增減放縮法,② 數(shù)列{an}滿足a1=1且an+1=231。230。(n179。n2nn+n248。2(n179。1+232。111246。230。1++247。247。1) n2n2nn+n248。232。ln231。230。247。+12+n163。12,(n179。11180。3+L+1n(n1)+12+122+L12n1=11230。+231。2232。1n12n1230。231。112232。+L++1n1n12=1+12 11 數(shù)列不等式的證明在數(shù)列不等式的證明中,我們大量采用放縮法,“疊加”模型的數(shù)列不等式,可以利用放縮法對(duì)疊加的數(shù)列進(jìn)行化簡(jiǎn),“疊加”模型指的是形如：a1+a2+L+an163。也可以是179。2,n206。n1n證明：