數(shù)學(xué)所有不等式放縮技巧及證明方法-在線瀏覽
2024-10-28 03:50本頁面
【正文】 （1）求函數(shù)f(x)的最小值，并求最小值小于0時的a取值范圍；n39。2n39。n:1 十、二項(xiàng)放縮=1,an+1=(1+=(1+)，求證：數(shù)列{an}單調(diào)遞增且an111++L+2 n+1n+23n+111)a+.證明ann2nn+n2e21n+b=1,a0,b0,求證：a(x)的定義域?yàn)閇0,1]，且滿足下列條件：① 對于任意x206。3，且f(1)=4；② 若x1179。0,x1+x2163。21n.1,n206。f(x1)+f(x2)3.（Ⅰ）求f(0)的值；（Ⅱ）求證：f(x)≤4；（Ⅲ）當(dāng)x206。2+132n1+17=1+{an}滿足an+1111++L+,a179。N+)，當(dāng)a1179。1, 有(i)an179。 1+a11+a21+an2添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）例已知an=2n1(n206。N*).23a2a3an+1先放縮再求和（或先求和再放縮）例函數(shù)f（x）=4x1+4x，求證：f（1）+f（2）+?+f（n）n+12n+11(n206。,求證：例已知數(shù)列{an}滿足n+1122n229。2+2180。4+L+n(n+1)求證： 22固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)； 例求證：利用基本不等式放縮例已知an=5n4，證明：不等式5amnaman1對任何正整數(shù)m，一、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)【例1】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：當(dāng)x1時，恒有1作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)=方；換元法構(gòu)造函數(shù)證明【例3】（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln（從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf162。ln(x+1)163。)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3的圖象的下23111+1)23 7 / 7第二篇：放縮法證明不等式放縮法證明不等式在學(xué)習(xí)不等式時，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過程如何合理放縮，是證明的關(guān)鍵所在。例1：設(shè)a、b、c是三角形的邊長，求證abc≥3 ++b+cac+aba+bc證明：由不等式的對稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，則b+ca≤c+ab≤a+bc且2cab≤0，2abc≥0∴= ∴abcabc++3=1+1+1b+cac+aba+bcb+cac+aba+bc2abc2bac2cab2abc2bca2cab≥++++=0b+cac+aba+bcc+abc+abc+ababc≥3 ++b+cac+aba+bc2bac無法放縮。例2：設(shè)a、b、c是三角形的邊長，求證abc(bc)2+(ca)2+(ab)2≥ b+cc+aa+b1 [(ab)2+(bc)2+(ca)2]3證明：由不等式的對稱性，不防設(shè)a≥b≥c，則3abc0,3bca≥b+c+cca=b+ca0左式－右式=3abc3bca3cab(bc)2+(ca)2+(ab)2 b+ca+ca+b3bca3cab(ca)2+(ab)2 a+ba+b2(b+ca)3bca3cab(ab)2+(ab)2=(ab)2≥0 a+ba+ba+b ≥ ≥[評析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個式了，有了一定的難度。例3：設(shè)a、b、c206。R+.由題意得：xyz=1。39例4：設(shè)a、b、c≥0，且a+b+c=3，求證a2+b2+c2+abc≥22證明：不妨設(shè)a≤b≤c，則a≤1又∵(44。33a+b23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)。例5：設(shè)a、b、c206。R，求證：abc(ap+bp+cp)≥ap+2(a+b+c)+bp+2(ab+c)+cp+2(a
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