不等式放縮技巧十法-在線瀏覽
2024-08-04 19:24本頁面
【正文】 已知函數(shù)，若，且在[0，1]上的最小值為，求證： [簡析] 例3 求證.簡析 不等式左邊==，故原結(jié)論成立.【例4】已知， 求證：≤1.【解析】使用均值不等式即可：因?yàn)?，所以? 其實(shí)，上述證明完全可以改述成求的最大值。 請(qǐng)分析下述求法：因?yàn)?，所以? 故的最大值為，且此時(shí)有。 特別提醒:上述題目可是我們課本上的原題啊!只是我們做了少許的推廣而已!2．利用有用結(jié)論例5 求證簡析 本題可以利用的有用結(jié)論主要有：法1 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)可得 即 法2 利用貝努利不等式的一個(gè)特例(此處)得 注：例5是1985年上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成1998年全國高考文科試題；進(jìn)行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。[簡析] 本題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，詳參高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)；這里給出運(yùn)用柯西（）不等式的簡捷證法：而由不等式得(時(shí)取等號(hào)) （），得證！例7 已知用數(shù)學(xué)歸納法證明；對(duì)對(duì)都成立，證明（無理數(shù)）[解析] 結(jié)合第問結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。表示不超過的最大整數(shù)。再如：設(shè)函數(shù)。以代入（）式得此式對(duì)一切正整數(shù)都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有，又因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù)有。 利用上述部分放縮的結(jié)論來放縮通項(xiàng)，可得 【注】上述證明用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論。例12 設(shè)，求證.[簡析] 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得即，得證.例13 設(shè)數(shù)列滿足 （Ⅰ）證明對(duì)一切正整數(shù)成立；（Ⅱ）令，判定與的大小，并說明理由。 當(dāng)時(shí)在遞增，故 對(duì)(II)有，構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證。五 換元放縮例16 求證[簡析] 令，這里則有，從而有注：通過換元化為冪的形式，為成功運(yùn)用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。七 轉(zhuǎn)化為加強(qiáng)命題放縮如上述例10第問所證不等式右邊為常數(shù)，難以直接使用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以通過從特值入手進(jìn)行歸納探索、或運(yùn)用逆向思維探索轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：再用數(shù)學(xué)歸納法證明此加強(qiáng)命題，就容易多了。a2n！ [解析]：（1）將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n179。（2）證：據(jù)1176。a2a2n！，只要證n206。顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明一個(gè)加強(qiáng)不等式：對(duì)每個(gè)n206。1－（）……3176。得179。故2176。八. 分項(xiàng)討論例21 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足 （Ⅰ）寫出數(shù)列的前3項(xiàng)；（Ⅱ）求
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