不等式放縮技巧十法(已修改)
2025-07-06 19:24 本頁(yè)面
【正文】 第六章 不等式第二節(jié) 不等式放縮技巧十法證明不等式，其基本方法參閱數(shù)學(xué)是怎樣學(xué)好的(下冊(cè)): 不等式的放縮技巧。證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類(lèi)競(jìng)賽試題命題的極好素材。這類(lèi)問(wèn)題的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下十種：一 利用重要不等式放縮1. 均值不等式法例1 設(shè)求證解析 此數(shù)列的通項(xiàng)為，即 注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過(guò)“度”了！②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用。 例2 已知函數(shù)，若，且在[0，1]上的最小值為，求證： [簡(jiǎn)析] 例3 求證.簡(jiǎn)析 不等式左邊==，故原結(jié)論成立.【例4】已知， 求證：≤1.【解析】使用均值不等式即可：因?yàn)?，所以? 其實(shí)，上述證明完全可以改述成求的最大值。本題還可以推廣為： 若， 試求的最大值。 請(qǐng)分析下述求法：因?yàn)?，所以? 故的最大值為，且此時(shí)有。 上述解題過(guò)程貌似完美，其實(shí)細(xì)細(xì)推敲，是大有問(wèn)題的：取“＝”的條件是，即必須有，即只有p=q時(shí)才成立！那么，呢？其實(shí)例6的方法照樣可用，只需做稍稍變形轉(zhuǎn)化： 則有 于是，當(dāng)且僅當(dāng) 結(jié)合其結(jié)構(gòu)特征，還可構(gòu)造向量求解：設(shè)，則由立刻得解： 且取“＝”的充要條件是：。 特別提醒:上述題目可是我們課本上的原題啊!只是我們做了少許的推廣而已!2．利用有用結(jié)論例5 求證簡(jiǎn)析 本題可以利用的有用結(jié)論主要有：法1 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)可得 即 法2 利用貝努利不等式的一個(gè)特例(此處)得 注：例5是1985年上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成1998年全國(guó)高考文科試題；進(jìn)行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。如理科題的主干是：證明(可考慮用貝努利不等式的特例) 例6 已知函數(shù)求證：對(duì)任意且恒成立。[簡(jiǎn)析] 本題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，詳參高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)；這里給出運(yùn)用柯西（）不等式的簡(jiǎn)捷證法：而由不等式得(時(shí)取等號(hào)) （），得證！例7 已知用數(shù)學(xué)歸納法證明；對(duì)對(duì)都成立，證明（無(wú)理數(shù)）[解析] 結(jié)合第問(wèn)結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：
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