【正文】 第一篇：用放縮法證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式用放縮法證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式湖北省天門中學(xué)薛德斌數(shù)列與不等式的綜合問題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點(diǎn)，這類問題能有效地考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)列與不等式知識(shí)解決問題的能力．本文介紹一類與數(shù)列和有關(guān)的不等式問題，解決這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和．一．先求和后放縮例1．正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn，滿足2Sn=an+1，試求：（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=11，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Bn，求證：Bn 2anan+1解：（1）由已知得4Sn=(an+1)2，n179。2時(shí)，4Sn1=(an1+1)2，作差得：22所以(an+an1)(anan12)=0，又因?yàn)閧an}為正數(shù)數(shù)4an=an+2anan12an1，列，所以anan1=2，即{an}是公差為2的等差數(shù)列，由2S1=a1+1，得a1=1，所以an=2n1（2）bn=11111==()，所以 anan+1(2n1)(2n+1)22n12n+1Bn=111111111(1+L)= 23352n12n+122(2n+1)2注：一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式．如果此數(shù)列的前n項(xiàng)和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列{an}滿足條件an+1an=f(n)）求和或者利用分組、裂項(xiàng)、倒序相加等方法來求和．二．先放縮再求和1．放縮后成等差數(shù)列，再求和例2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an+an=+an+12(1)求證：Sn；4(2)解：（1）在條件中，令n=1，得a1+a1=2S1=2a1，Qa10\a1=1，又由條件22an+an=2Sn有an+1+an+1=2Sn+1，上述兩式相減，注意到an+1=Sn+1Sn得(an+1+an)(an+1an1)=0Qan0\an+1+an0∴an+1an=1所以，an=1+1180。(n1)=n，Sn=n(n+1)n(n+1)1n2+(n+1)2an+an+1所以Sn= =2224（2）因?yàn)閚n(n+1)n+1，所以n2n(n+1)n+1，所以 S1+S2+LSn=n2+3n22Sn+1121180。22180。3n(n+1)23n+1++L+ ++L+222222S2+LSn12+22+L+n2=n(n+1)22=Sn2==；S1+2．放縮后成等比數(shù)列，再求和例3．（1）設(shè)a，n∈N*，a≥2，證明：a2n(a)n179。(a+1)an；（2）等比數(shù)列{an}中，a1=，前n項(xiàng)的和為An，且A7，A9，A8成等差數(shù)列．設(shè)a1bn=n，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和為Bn，證明：Bn＜．31an解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an≥a，于是，a2n(a)n=an(an+1)179。(a+1)an．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a－1≥1，且an≥a2，于是a2n(a)n=an(an1)179。(a21)an=(a+1)(a1)an179。(a+1)an．（2）∵A9A7=a8+a9，A8A9=a9，a8+a9=a9，∴公比q=a91=．a(chǎn)82∴an=()． bn=n1n11()n=．163。nnn4(2)32(12)1111=1(11)1．∴Bn=b1+b2+Lbn163。++L+=1323223332n32n123．放縮后為差比數(shù)列，再求和例4．已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=(1+n)an(n=1,2,3L)．求證： 2nan+1an179。3n+1n1n)an，所以an+1與an同號(hào)，又因?yàn)閍1=10，所以an0，n2證明：因?yàn)閍n+1=(1+即an+1an=nan0，即an+1an．所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以an179。a1=1，2nnn12n1即an+1an=nan179。n，累加得：ana1179。+2+L+n1．2222212n1112n1令Sn=+2+L+n1，所以Sn=2+3+L+n，兩式相減得：222222211111n1n+1n+1Sn=+2+3+L+n1n，所以Sn=2n1，所以an179。3n1，22222222n+1故得an+1an179。3n1．4．放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和例5．在m（m≥2）個(gè)不同數(shù)的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時(shí)Pi＞Pj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），(n+1)n(n1)L321的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)a1=1，排列321的逆序數(shù)a3=6．（1）求aa5，并寫出an的表達(dá)式；（2）令bn=ana+n+1，證明2nb1+b2+Lbn2n+3，n=1,2,….an+1ann(n+1).2解（1）由已知得a4=10,a5=15，an=n+(n1)+L+2+1=（2）因?yàn)閎n=anann+2nn+2+n+1=+2=2,n=1,2,L，an+1ann+2nn+2n所以b1+b2+L+bn+222+=2+,n=1,2,L，n+2nnn+2111111)] 所以b1+b2+L+bn=2n+2[()+()+L+(1324nn+2222n+3.=2n+3n+1n+2又因?yàn)閎n=綜上，2nb1+b2+Lbn2n+3,n=1,2,：常用放縮的結(jié)論：（1）1111111=2=(k179。2)kk+1k(k+1)kk(k1)k1k2k+k+11k2k+k1=2（1k11k)(k179。2)（2）．2（1k1k+1)=在解題時(shí)朝著什么方向進(jìn)行放縮，是解題的關(guān)鍵，一般要看證明的結(jié)果是什么形式．如例２要證明的結(jié)論n2+3n2n(n+1)22為等差數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為等差數(shù)11)為等比數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通nn+1項(xiàng)放縮為等比數(shù)列，再求和即可；如例4要證明的結(jié)論3n1為差比數(shù)列求和結(jié)果的類22型，則把通項(xiàng)放縮為差比數(shù)列，再求和即可；如例5要證明的結(jié)論2n+3為n+1n+2列，再求和即可；如例3要證明的結(jié)論(1裂項(xiàng)相消求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為相鄰兩項(xiàng)或相隔一項(xiàng)的差，再求和即可．雖然證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式問題是高中數(shù)學(xué)中比較困難的問題，但是我們通過仔細(xì)分析它的條件與要證明的結(jié)論之間的內(nèi)在關(guān)系，先確定能不能直接求和，若不能直接求和則要考慮把通項(xiàng)朝什么方向進(jìn)行放縮．如果我們平時(shí)能多觀測(cè)要證明結(jié)論的特征與數(shù)列求和之間的關(guān)系，則仍然容易找到解決這類問題的突破口．《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2007年第8期刊號(hào)ISSN 1007—1830第二篇：放縮法證明數(shù)列不等式放縮法證明數(shù)列不等式基礎(chǔ)知識(shí)回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：① 等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差錯(cuò)誤！未找到引用源。等比”的形式④ 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手② 在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號(hào)同方向）③ 在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：① 裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）② 等比數(shù)列：所面對(duì)的問題通常為“錯(cuò)誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號(hào)的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。，即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。注：此方法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問題：① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)行變形② 在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。）．（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍．！未找到引用源。.對(duì)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。的子集錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.類型二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 ！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求證: