導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合證明問(wèn)題(已修改)
2024-10-28 18:52 本頁(yè)面
【正文】 第一篇：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合證明問(wèn)題導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合證明問(wèn)題典例：（2017全國(guó)卷3,21）已知函數(shù)f(x)=x1alnx。（1）若f(x)179。0，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n231。1+230。232。1246。230。1246。230。1246。 1+L1+m，求m的最小值。247。231。231。2247。n247。2248。232。2248。232。2248。分析：(1)由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可得x=a是f(x)在x206。(0，+165。)的唯一最小值點(diǎn)，列方程解得a=1 ；(2)利用題意結(jié)合(1)的結(jié)論對(duì)不等式進(jìn)行放縮，求得231。1+230。232。1246。230。1246。230。1246。1+L1+e，結(jié)合247。231。231。2247。n247。2248。232。2248。232。2248。1246。230。1246。230。1246。230。1+1+1+2可知實(shí)數(shù)m 的最小值為3231。247。231。2247。231。3247。232。2248。232。2248。232。2248。（1）f(x)的定義域?yàn)?0，+165。).①若a163。0，因?yàn)閒231。247。=②若a0，由f39。x(230。1246。232。2248。1+aln20，所以不滿足題意； 2axa=知，當(dāng)x206。(0,a)時(shí)，f39。(x)0；當(dāng)x206。(a，+165。)時(shí)，xx)=1所以f(x)在(0,a)單調(diào)遞減，在(a，故x=a是f(x)在(0，f39。(x)0，+165。)單調(diào)遞增，+165。)(1)=0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，f(x)179。=：已知函數(shù)f(x)=ln(x)+ax（1）求實(shí)數(shù)a的值；1(a為常數(shù))，在x=（2）設(shè)g(x)=f(x)+2x，求g(x)的最小值；（3）若數(shù)列{an}滿足an=aan1n1+1(n206。N且n179。2),a1=+1，數(shù)列{an}的前n和 2+1+nSn，求證：2an179。esnan(n206。N,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).整理：在證明中要對(duì)證明的式子2n+1an179。esnan進(jìn)行簡(jiǎn)單的處理為nln2+lnan179。Sn nn，否則直接另x=+1n+11+：已知函數(shù)f(x)=（1）若函數(shù)在區(qū)間231。t,t+230。232。1246。247。（其中t0）上存在極值，求實(shí)數(shù)t的取值范圍； 2248。a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并且判斷代數(shù)式x+1（2）如果當(dāng)x179。1時(shí)，不等式f(x)179。[(n+1)!]2與(n+1)en2(n206。N*)：解：（Ⅰ）因?yàn)閒(x)=1+lnxlnx，x0，則f162。(x)=2，xx當(dāng)0x1時(shí)，f162。(x)0；當(dāng)x1時(shí)，f162。(x)(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；在(1,+165。)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在x=(x)在區(qū)間231。t,t+247。(其中t0)上存在極值，2248。232。236。t1,1239。所以237。1 解得t+1,239。238。2a(x+1)(1+lnx)(x+1)(1+lnx)（Ⅱ）不等式f(x)≥，,即為≥a, 記g(x)=x+1xx[(x+1)(1+lnx)]162。x(x+1)(1+lnx)xlnx所以g162。(x)=.=x2x2令h(x)=xlnx，則h162。(x)=11，∵x≥1，∴h162。(x)≥0，x∴h(x)在[1,+165。)上單調(diào)遞增，∴[h(x)m]in=h(=1)1，從而0g162。(x)0，故g(x)在[1,+165。)上也單調(diào)遞增，所以[g(x)]min=g(1)=2, 所以a≤2；由上述知f(x)≥即lnx≥2恒成立，x+1x122=11，（此處采用了放縮法，是處理問(wèn)題的關(guān)鍵）x+1x+1x2令x=n(n+1)，則ln[n(n+1)]1，n(n+1)∴ ln(1180。2)1222，ln(2180。3)1，ln(3180。4)1，…，1180。22180。33180。42ln[n(n+1)]1，n(n+1)233。111249。疊加得ln[1180。22180。32180。180。n2(n+1)]n2234。+++ 1180。22180。3n(n+1)235。1246。230。222n2=n2231。1247。180。2180。3180。180。n(n+1)e，232。n+1248。所以[(n+1)！]2(n+1)en2(n206。N*)．第二篇：導(dǎo)數(shù)壓軸題 導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的證明導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的證明(x)=alnxax3(a206。R)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。(2)證明:1+12+13+L+1nln(n+1)(n206。N*)(3)證明:ln22ln33ln44ln55Llnnn1n(n179。2,n206。N*) n(4)證明:ln2ln3ln4ln5lnn230。1246。n+122324252Ln2231。232。2247。248。n(n179。2,n206。N*)(5)證明:ln24ln34ln44ln54lnn4(n+1)224344454Ln44n(n179。2,n206。N*) ln22ln32(6)求證:lnn2(n1)(2n+1)22+32+...+n22(n+1)(n179。2,n206。N*)(7)求證:231。230。1246。230。22247。231。248。232。1+1246。230。42247。231。248。232。1+1246。232。1+82247。248。...230。231。232。1+1246。22n247。248。e(n206。N*)(x)=lnxx+1?(1)求f(x)的最大值。nnn(2)證明不等式:230。231。1246。230。2246。230。n246。e232。n247。248。+231。232。n247。248。+L+231。232。n247。248。e1(n206。N*)(x)=x2ln(x+1)(1)當(dāng)x0時(shí),求證:f(x)x3。(2)當(dāng)n206。N*時(shí),求證:229。nf230。1246。1+1+1+151 k=1231。232。k247。248。
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