【正文】 第一篇：論文放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略廣外外校姜海濤放縮法證明數(shù)列不等式是高考數(shù)學(xué)命題的熱點和難點。所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對不等式的局部進行合理的放大和縮小從而向結(jié)論轉(zhuǎn)化，其難度在于放縮的合理和適度。證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧從而充滿思考性和挑戰(zhàn)性。為了幫助更多的學(xué)生突破這一難點，我們從以下幾個方面對放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略進行分析。一、常見的放縮方法常見的放縮方法法有：1.“添舍”放縮：對不等式一邊添項或舍項以達到放大和縮小的效果；：分別放縮分子、分母或者同時放縮分子分母以達到放縮的效果；：把欲證不等式變形構(gòu)造，然后利用已知的公式或恒不等式進行放縮，例如均值不等式、柯西不等式、絕對值不等式、二項式定理、貝努力公式、真分數(shù)性質(zhì)等。：挖掘不等式的結(jié)構(gòu)特征和函數(shù)內(nèi)涵來構(gòu)造單調(diào)數(shù)列或單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性、值域產(chǎn)生的不等關(guān)系進行放縮。二、常見的放縮控制當(dāng)我們選擇了正確的放縮方法后，卻往往會在放縮的過程中不知不覺間失控，導(dǎo)致放縮的過大或過小，達不到欲證的目標(biāo)。那么如何控制好放縮的尺度呢？例1．求證：11117+++K+ 122232n24分析1：不等式左邊不能直接求和，我們希望通過合適的放縮后可以求和。1111 =(n179。2)”的方法向右端放大，n2n(n1)(n1)n11111117111=1+()+()+K+()=22 則左邊1+++K1223n1nn41180。22180。3(n1)180。n若采取“很明顯，放得有點大了，導(dǎo)致傳遞性失敗，不等式鏈中斷，放縮失敗。那怎么辦呢？1．調(diào)整放縮的“量”的大小分析2：分析1中“放”的有點過大，因為11，放大了1111，K所以可以2221180。2432180。318通過調(diào)整放大的“量”來控制放縮的效果。在減少1，即11分母減少了n，我們可以把分母只n2n(n1)11111=()n179。2），這樣放的量就少了。22nn12n1n+***17)]=1+(1+)]2．調(diào)整放縮的“項”的起點分析3：分析1中從第二項開始放縮，放的最終有點大?？梢哉{(diào)整放縮的項數(shù)，從第三項開始放縮。證明：左邊1++11111717111=1++()+K+()== +K423n1n4n442180。3(n1)180。n由此可見，調(diào)整成功。顯然從第三項開始放縮所得的結(jié)果比從第二項開始放縮所得的結(jié)果又更小些。以此類推，當(dāng)放縮的項數(shù)越少，放縮后的結(jié)果就會越來越精細，越來越逼近目標(biāo)。除此之外，還可以調(diào)整放縮的次數(shù)，通過多次放縮的調(diào)整來達到效果；有時也可以根據(jù)欲證式子的結(jié)構(gòu)特點，把相鄰的項分組捆綁后進行放縮，也可以達到控制放縮合理和尺度的效果。三、常見的問題類型數(shù)列型不等式的一邊常與求和有關(guān)，所以可以通過放縮后求和(或求和后放縮)來達到欲證的目標(biāo)。“公式法求和”選擇恰當(dāng)?shù)姆趴s方法，通過“通項”的適度放縮使之轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，從而利用求和達到簡化．．．．證題的目的。n(n+1)(n+1)2sn例2．設(shè)SnL 22分析：此數(shù)列通項為ak=因為kknk(k+1),k=1,2,+(k+1)1，\kk(k+1)k+ 22k(k+1)nn(n+1)(n+1)21sn\229。kSn229。(k+)，即 222k=1k=1例3．求證：1111+++L+2 1!2!3!n!163。k1,k=1,2,L,!2分析：通項k!=k(k1)L21179。22L21=2k1,\11()n11111111=2(1)n12\+++L+0+1+2+L+k1=11!2!3!n!2222212例4．已知an=2n1，證明：an1a1a2n++Ln 23a2a3an+12naakn2k12k11分析：通項=k+1k+1=，229。k，不等式右邊得證。ak+121222k=1ak+12akak+1n11211111111=1 =k+1===kkkk112232+(22)232+0232212(2k)4(2k)k2knak11n1111n11n1\229。229。()=(++L)=(1)，不等式左邊得證。k12nna2232323322222k=1k+1k=1“裂項法求和”在例1中，不等式的左邊無法求和，但通過放縮產(chǎn)生裂項相消的求和效果后，使問題解決。例2的右邊也是利用放縮產(chǎn)生了裂項的效果，然后求和。下面我們再通過幾道例題的證明體會裂項求和效果的運用。：2(n+11)1++3+L+1n2n分析：Qn1k=2k+k2k+k1=2(kk1),(k179。2)\229。k=11k=1+2[(2)+(32)+L(nn1)]=1+2(1+n)=2n12n 2k+k2k+k+1=2(k+1k)Q1kn\229。k=11k2[(2)+(2)+L(n+1n)]=2(1+n+1)=2(n+11)n1n111=(),bn=+,證明：229。bk2n31+an1an+13k=1分析：bn=111+n+13n3n+13n+113n+11+111=n+n+1=n+n+1=2n+n+1 13+1313+1313+1313n+111+3n3n+1n111111111\229。bk2n+[(1+2)+(2+3)+L+(n+n+1)]=2n+(+n+1)2n333333333k=1\bn2(1)=2,f(n+1)=f(n)+f(n),求證：229。k=1nf(k)+12分析：Qf(n+1)=f(n)[f(n)+1],\1111==,f(n+1)f(n)[f(n)+1]f(n)f(n)+1\111，=f(n)+1f(n)f(n+1)n\229。k=1111111111=[]+[]+L[]=f(k)+1f(1)f(2)f(2)f(3)f(n)f(n+1)f(1)f(n+1)由已知可得f(n)0, \“并項法求和” =229。k=1n=f(k)+1f(1)22n21117[2+(1)n1],n179。1,證明：對任意整數(shù)m4,有++L+ 3a4a5am8n1分析：通項中含有(1)，把+整體捆綁同時結(jié)合奇偶性進行適度放縮。anan+11131132n1+2n232n1+2n2證明：當(dāng)n為奇數(shù)時，+=[+]=anan+122n2+12n11222n3+2n12n21222n3即當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)m為偶數(shù)且m4時：11311+(n2+n1)，且a4=2, anan+122211111111131111++L+=+(+)L+(+)+(3+4+L+m3+m2)a4a5ama4a5a6am1am222222=13111317+(1m4)+= 22422482當(dāng)m為奇數(shù)且m4時：Qm+1為偶數(shù)，11111117++L+++L++ a4a5ama4a5amam+18綜上可知，對于任意整數(shù)m4，都有1117++L+ a4a5am8+11111n+++L+n+n1+(n179。2,n206。N)2342212分析：尋求合適的處理手法，可以通過分組“捆綁”進行放縮。左邊=1+11111111111111+(+)+(+++)+(++L+)+L+(n1+Ln+n)***+12121+=1+11111111111111+(+)+(+++)+(++L+)+L+(n+Ln+n)***22211111n+++L+(共n個)=1+ 222222四．利用遞推關(guān)系式放縮利用遞推關(guān)系式產(chǎn)生的不等關(guān)系，在很多題目中可以起到很好的放縮效果。179。3,ak179。2ak1+1(k179。2),求證：1111++L+163。 1+a11+a21+an2分析：根據(jù)欲證不等式的結(jié)構(gòu)特點，通過遞推關(guān)系式構(gòu)造關(guān)于1+ak的不等式Qak179。2ak1+1,\ak+1179。2(ak1+1)且a1+1179。4\ak+1=ak+1ak1+1a+111k+1163。（）L2（a1+1）179。22L24=2k+1\ak+12ak1+1ak2+1a1+112131n+1111\左邊163。（）+（）+L+（）=1n)222222=2n1，證明：1112++L+ a2a3an+13分析：Qan=2n12n2=2(2n11)=2an1，\an2(n179。2)且a1=1,a2=3, an1\n179。3時，an=左邊163。anan1a11L3a2179。2n23，\163。3()n2an2an1an2a21111212[1++()2+L+()n1]=(1n) 3222332五．構(gòu)造和數(shù)列后進行放縮如果數(shù)列不等式?jīng)]有直接的求和的形式，很多時候可以間接的構(gòu)造和數(shù)列，然后進行放縮處理。nan11111++L+[log2n]，正數(shù)列{an}滿足a1=b0,an163。(n179。2)23n2n+an12b(n179。2)2+b[log2n]的遞推關(guān)系式，然后利用“累加法”把欲證的不等式轉(zhuǎn)化為和數(shù)列的形式 an證明：an分析：根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于Q0an163。nan1111111，\179。+，\179。(n179。2)anan1nanan1nn+an1111111111111\n179。2=()+()+L+()+179。++L++ananan1an1an2a2a1a1nn12b\2b1112+b[log2n][log2n]+=0，\an2+b[lo2gn]an2b2b1*n206。N，定義數(shù)列:，{x}x=0x=f(x)n1n+1n2x+2(x)=若0xk163。11(k=2,3,4,L)，證明:對任意m206。N*都有:xm+kxk.k1234分析：利用遞推式構(gòu)造關(guān)于xk+1xk的不等式，利用“絕對值不等式”把xm+kxk放縮為和數(shù)列的形式由x1=0得x2=114, x3=，當(dāng)k179。2時,Q0xk163。,229xkxk1xk+xk1xkxk1xk2xk21112=2∴xk+1xk=2 244xk+2xk1+2(xk+2)(xk1+2)∴xk+1xk=*xk+1xkxkxk1xk1xk2xkxk1Lx3x2()k2x3x2=()k2x3x24418x4x3對m206。N,xm+kxk=(xm+kxm+k1)+(xm+k1xm+k2)+L+(xk+1xk)163。xm+kxm+k1+xm+k1xm+k2+L+xk+1xk 1230。111246。++L+231。m+k3m+k4k2247。18232。444248。()k2(1m)1=8(1)k1230。11246。8(1)k11(1)