導(dǎo)數(shù)與不等式證明(絕對精華)合集5篇(已修改)
2024-10-31 05:11 本頁面
【正文】 第一篇：導(dǎo)數(shù)與不等式證明(絕對精華)二輪專題（十一）導(dǎo)數(shù)與不等式證明【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.【知識(shí)回顧】 一級(jí)排查：應(yīng)知應(yīng)會(huì)，利用新函數(shù)的單調(diào)性或最值解決不等式的證明問題．比如要證明對任意x206。[a,b]都有f(x)163。g(x)，可設(shè)h(x)=f(x)g(x)，只要利用導(dǎo)數(shù)說明h(x)在[a,b]上的最小值為0即可． 二級(jí)排查：知識(shí)積累利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題技巧總結(jié)如下：（1）利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)（一般第一問先讓解決出來），如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，服務(wù)于第二問要證明的不等式.（2）多用分析法思考.（3）對于給出的不等式直接證明無法下手，可考慮對不等式進(jìn)行必要的等價(jià)變形后，（指數(shù)），：因?yàn)橐煤瘮?shù)的性質(zhì)，力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式.（4）常用方法還有隔離函數(shù)法，f(x)min179。g(x)max，放縮法（常與數(shù)列和基本不等式一起考查），換元法，主元法，消元法，數(shù)學(xué)歸納法等等，但無論何種方法，問題的精髓還是構(gòu)造輔助函數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題.（5）建議有能力同學(xué)可以了解一下羅必塔法則和泰勒展開式，：易錯(cuò)易混用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列時(shí)注意定義域.【課堂探究】一、作差（商）法 例證明下列不等式：①ex179。x+1 ②lnx163。x1③lnx179。1④lnx179。 x2(x1)2xp,x206。(0,)(x179。1)⑤sinxx+1p2二、利用f(x)min179。g(x)max證明不等式 例已知函數(shù)f(x)=ax12e+b(a+1)lnx,(a,b206。R),g(x)=x+.xe2（1）若函數(shù)f(x)在x=2處取得極小值0，求a,b的值；（2）在（1）的條件下，求證：對任意的x1,x2206。[e,e2]，總有f(x1)g(x2).變式：證明：對一切x206。(0,+165。)，都有l(wèi)nx三、構(gòu)造輔助函數(shù)或利用主元法已知m,n為正整數(shù)，且1mn,求證：(1+m)n(1+n)：設(shè)函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=2x2（x179。1）.(1)試判斷F(x)=(x2+1)f(x)g(x)在定義域上的單調(diào)性；（2）當(dāng)0ab時(shí)，求證f(b)f(a)2a(ba).22a+b四、分析法證明不等式例設(shè)a1，函數(shù)f(x)=(1+x2)=f(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，且在點(diǎn)M(m,n)處的切線與直線OP平行（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）,證明：m163。3a變式：已知函數(shù)f(x)=x2lnx．（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）證明：對任意的t0，存在唯一的s，使t=f(s)．（Ⅲ）設(shè)（Ⅱ）中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s=g(t)，證明：當(dāng)te時(shí)，有(t)1.5lnt2五、隔離函數(shù)例已知函數(shù)f(x)=exln(x+m).（Ⅰ）設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m并討論f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)m163。2時(shí)，證明:f(x)：已知函數(shù)f(x)=nxxn,x206。R,其中n206。N*，且n179。2.（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g(x)，求證：對于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f(x)163。g(x)；（3）若關(guān)于x的方程f(x)=a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1,x2，求證：x2x1a+六、與數(shù)列結(jié)合例已知函數(shù)f(x)=alnxax3(a206。R).（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：變式：（1）已知x206。(0,+165。)，求證：1x+11ln； x+1xx1111111(n206。N*，n179。2).（2）求證：+++L+lnn1+++L+234n23n1ln2ln3ln4lnn1..L(n206。N*，n179。2)234nn【鞏固訓(xùn)練】 (x)=(x)=ln1+x． 1x122x+lnx,求證：在區(qū)間(1,+165。)上，函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)=x3的23（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；230。x3246。1)時(shí)，f(x)2231。x+247。；（Ⅱ）求證：當(dāng)x206。(0，3248。232。230。x3246。1)恒成立，求k的最大值．（Ⅲ）設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x)k231。x+247。對x206。(0，3248。23
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