導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合證明問題(已改無錯(cuò)字)
2024-10-28 18 本頁面
【正文】 an554=168a4=32(2a=,因?yàn)?an0,所以an+1與a同號，nn)22an4n4因?yàn)閍514=140，a5555240,a340,?，an40,即an4.（3）當(dāng)n179。2時(shí)，b531n=4an=22a(5a3131n1)=bn1bn1=2bn1，n1422an1225所以bn2bn122bn2L2n1b31=2n，13n(12n)所以Sn=b1+b2+L+bn4+12++230。231。1246。232。2247。248。=12=1(2n1)點(diǎn)評：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。{a*n}中，a1=1，nan+1=2(a1+a2+...+an)(n206。N)．（1）求a2,a3,a4；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；（3）設(shè)數(shù)列{b1n}滿足b1=2,b12n+1=abn+bn，求證：bn1(n163。k)k分析：條件中有類似于前n項(xiàng)和的形式出現(xiàn)，提示我們應(yīng)該考慮an＝Sn－Sn－1(n≥2)解：（1）a2=2,a3=3,a4=4（2）nan+1=2(a1+a2+...+an)①(n1)an=2(a1+a2+...+an1)②①—②得nan+1(n1)an=2an即：nan+1=(n+1)a+1n+1aa3ann，ana=所以aa223nn=1a...=1...1=n(n179。2)nna12an112n所以a*n=n(n206。N)（3）由（2）得：b1=12,b12n+1=kbn+bnbnbn1...b10，所以{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：bn1(n163。k)只需證bk1若k=1，則b121顯然成立。若k179。2，則b=1211=n+1kbn+bnkbnbn+1+bn 所以1b11,因此：1=(11)+...+(11)+1k1+2=k+1n+1bnkbkbkbk1b2b1b1kk所以bkkk+11,所以bn1(n163。k)點(diǎn)評：與數(shù)列相關(guān)的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關(guān)鍵，本題中1b=(11)+...+(11)+1,12+13+L+1n1[log2n],其中n為不大于2的整數(shù)，[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù)。設(shè)數(shù)列{a1n}的各項(xiàng)為正且滿足a1=b(b0),anann163。n+a(n=2,3,4L)，證明：n1an2b2+b[log，n=3,4,5L2n]分析：由條件an111111n163。nan+a得：n1a179。+1\nan1na179。n(n179。2)nan111a179。1n1an2n1??a1179。1以上各式兩邊分別相加得： 2a121a1179。1+1+L+1\1179。1+1+1+L+11+1[log2n](n179。3)na1nn12anbnn12b2=2+b[log2n]2b\ a2bn2+b[logn](n179。3)2本題由題設(shè)條件直接進(jìn)行放縮，然后求和，命題即得以證明。{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=2an+(1)n，n179。1（1）寫出數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1，a2，a5；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）證明：對任意的整數(shù)m4，有1117a++L+4a5am8分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2； ⑵由已知得：an=SnSn1=2an+(1)n2an1(1)n1（n1）化簡得：an1anan1anan1n=2an1+2(1)(1)n=2(1)n12,(1)n+23=2[(1)n1+23] 故數(shù)列{an2(1)n+3}是以a1+23為首項(xiàng), (1)n+3=(3)(2)n1∴a=23[2n2(1)n]∴數(shù)列{a2nn}的通項(xiàng)公式為：an=3[2n2(1)n].⑶觀察要證的不等式，左邊很復(fù)雜，先要設(shè)法對左邊的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使之能夠求和。而左邊=1a+1a+L+1=3[111221+23+1+L+2m2(1)m]，如果我們把上式中的分母中的177。1去掉，就可利45am2用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式求和，由于1與1交錯(cuò)出現(xiàn)，容易想到將式中兩項(xiàng)兩項(xiàng)地合并起來一起進(jìn)行放縮，嘗試知：11111221+123+1122+123，23+1+24123+24，因此，可將1保留，再將后面的項(xiàng)兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對m進(jìn)行分類討論，（1）當(dāng)m為偶數(shù)(m4)時(shí)，1a+1+L+1a=1+(1+1)+L+(1+1)1+3(1113+4+L+m2)4a5ma4a5a6am1am22222=13112+2180。4(1137m4)2+8=8（2）當(dāng)m是奇數(shù)(m4)時(shí)，m+1為偶數(shù)，1a+1+L+11+1a+1+L+1+17 4a5ama45a6amam+18所以對任意整數(shù)m4，有a+a+L+7。本題的關(guān)鍵是并項(xiàng)后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。45am8：a2*1=2,an+1=anan+1,n206。N證明：（1）對于n206。N*恒有a*n+1an成立。（2）當(dāng)n2且n206。N，有an+1=anan1La2a1+1成立。（3）1112a+12006a+L+11。12a2006分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。（2）由a2n+1=anan+1得：an+11=an(an1)\an1=an1(an11)??a21=a1(a11)以上各式兩邊分別相乘得：an+11=anan1La2a1(a11)，又a1=2\an+1=anan1La2a1+1（3）要證不等式111122006a++L+11，可先設(shè)法求和：1+1+L+，1a2a2006a1
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