高中不等式數(shù)列綜合難題(已改無(wú)錯(cuò)字)
2023-04-26 05:41:02 本頁(yè)面
【正文】 。 …………………………………7分①當(dāng)時(shí)，即；②當(dāng)時(shí)，即；③當(dāng)時(shí)，即． …………………………………9分（3）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，即．令，則有， ． ……………12分，[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]． ……………………………………14分(法二)當(dāng)時(shí)，．，即時(shí)命題成立． ………………………………10分設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即 ．時(shí)，．根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，即．令，則有，則有，即時(shí)命題也成立．……………13分因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立． ………………………………14分（法三）如圖，根據(jù)定積分的定義，得．……11分，． ………………………………12分，又，．． …………………………………14分【說(shuō)明】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的計(jì)算能力及分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí)． 解：（Ⅰ）由，解得或，∴ 函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，[來(lái)∴ 在定義域上是奇函數(shù)。 ………4分（Ⅱ）由時(shí)，恒成立，∴ ∴ 在成立 令，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，∴ ………8分（Ⅲ）= 證法一：設(shè)函數(shù),則時(shí)，即在上遞減，所以，故在成立，則當(dāng)時(shí),成立. ………14分證法二：構(gòu)造函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，∴在單調(diào)遞減， ………12分當(dāng)（）時(shí)， …14分證明：（Ⅰ）由得 而 ①又∴ ②∵ ∴∵ ∴ ③由①、②、③得即（Ⅱ）證法一：由，得下面證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù),有恒成立即證成立∵設(shè)，則令得，列表如下：極小值 ∴∴對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有證法二：由，得∴∵是兩個(gè)不相等的正數(shù)∴設(shè)則，列表：極小值∴ 即 ∴即對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有二、計(jì)算題1解：（1）， 又因?yàn)?，則，即，又， （2），因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，①，②①②：，.綜上所述，（3）， 又，易驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立；假設(shè)，不等式成立，即，兩邊乘以3得又因?yàn)樗?1解：（1）①當(dāng)0≤≤1時(shí)，由≤得，≥．∴≤≤1． ②當(dāng)1＜≤2時(shí)，因≤恒成立．∴1＜≤2． 由①，②得，≤的解集為{|≤≤2}． （2）∵，，∴當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，．即對(duì)任意，恒有．（3），， ， 一般地，（）． （4）由（1）知，∴．則．∴． 由（2）知，對(duì)，或1，或2，恒有，∴．則0，1，2． 由（3）知，對(duì)，， ，恒有，∴，，．
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