【正文】 : 作輔助函數(shù)f(x)=ln(x+1)(x1)lnxlnxln(x+1)xlnx(x+1)ln(x+1)=于是有f162。(x)=x+12xlnxx(x+1)ln2x因為 1xx+1, 故0lnxln(x+1)所以 xlnx(x+1)ln(x+1)（1，+165。）因而在內(nèi)恒有f39。(x)0,所以f(x)在區(qū)間(1,+165。)x1+x,可知f(x)f(x+1)即 ln(x+1)ln(x+2)lnxln(x+1)所以 ln2(x+1)lnxln(x+2).利用導(dǎo)數(shù)知識證明不等式是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個重要方面，也成為高考的一個新熱點，其關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，判斷區(qū)間端點函數(shù)值與0的關(guān)系，其實質(zhì)就是利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性證明不等式。ln(1+x)x,其中x 因為例6中不等式的不等號兩邊形式不一樣,對它作差ln(1+x)(x),則發(fā)現(xiàn)作差以后21+x)(1,+xx2證明: 先證 xln(1+x)2x2設(shè) f(x)=ln(1+x)(x)(x0)21x21+0)0=0 f(x)=則 f(0)=ln(1+x=1+x1+x39。Q　x0 即 1+x0 x20x2\　f162。(x)=0　,即在(0,+165。)上f(x)單調(diào)遞增1+xx2\　f(x)f(0)=0 \　ln(1+x)x21+x)x。令 g(x)=ln(1+x)x 再證 ln(則 g(0)=0 g162。(x)=11 1+x１\ln(1+x)x Q　x0 \　1 \　g162。(x)0 １+xx2\　xln(1+x)x 練習(xí)：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1i163。mn證明：(1+m)n(1+n)m分析：要證(1+m)n(1+n)m成立，只要證ln(1+m)nln(1+n)m即要證11ln(1+m)ln(1+n)成立。因為m11ln(1+m)ln(1+n)； mn從而：(1+m)n(1+n)m。評注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數(shù)式分別在兩個不同點處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個函數(shù)式找到了，通過設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。第四篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式?jīng)]分都沒人答埃。覺得可以就給個好評!最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數(shù)f(x).對這個函數(shù)求導(dǎo)，判斷這個函數(shù)這各個區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)!1時,證明不等式xln(x+1)設(shè)函數(shù)f(x)=xln(x+1)求導(dǎo)，f(x)39。=11/(1+x)=x/(x+1)0所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數(shù)f(x)f(1)=1ln2o所以xln(x+12..證明：aa^20其中0F(a)=aa^2F39。(a)=12a當(dāng)00。當(dāng)1/2因此，F(xiàn)(a)min=F(1/2)=1/40即有當(dāng)000,證明：不等式xx^3/6先證明sinx因為當(dāng)x=0時，sinxx=0如果當(dāng)函數(shù)sinxx在x0是減函數(shù)，那么它一定因為cosx1≤0所以sinxx是減函數(shù)，它在0點有最大值0，知sinx再證xx179。/6對于函數(shù)xx179。/6sinx當(dāng)x=0時，它的值為0對它求導(dǎo)數(shù)得1x178。/2cosx如果它要證x178。/2+cosx10x0再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時，x178。/2+cosx1值為0再次對它求導(dǎo)數(shù)得xsinx根據(jù)剛才證明的當(dāng)x0sinxx178。/2cosx1是減函數(shù)，在0點有最大值0x178。/2cosx10所以xx179。/6sinx是減函數(shù)，在0點有最大值0得xx179。/6利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式XX178。0，X∈(0,1)成立令f(x)=xx178。x∈則f39。(x)=12x當(dāng)x∈時,f39。(x)0,f(x)單調(diào)遞增當(dāng)x∈時,f39。(x)故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得f(0)=0,f(1)=0故f(x)的最小值為零故當(dāng)x∈(0,1)f(x)=xx178。0。i、m、n為正整數(shù)，且1第五篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型第七計大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧技巧精髓利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。一、利用題目所給函數(shù)證明 【例1】 已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：當(dāng)x1時，恒有11x+1163。ln(x+1)163。x分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(x+1)+1x+11x+11，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明。xx+1【綠色通道】f162。(x)=1=∴當(dāng)1x0時，f162。(x)0，即f(x)在x206。(1,0)上為增函數(shù) 當(dāng)x0時，f162。(x)0，即f(x)在x206。(0,+165。)上為減函數(shù)故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間(0,+165。)于是函數(shù)f(x)在(1,+165。)上的最大值為f(x)max=f(0)=0，因此，當(dāng)x1時，f(x)163。f(0)=0，即ln(x+1)x163。0∴l(xiāng)n(x+1)163。x（右面得證），1x+1現(xiàn)證左面，令g(x)=ln(x+1)+1，則g162。(x)=1x+11(x+1)2=x(x+1)2當(dāng)x206。(1,0)時,g162。(x)0。當(dāng)x206。(0,+165。)時,g162。(x)0，即g(x)在x206。(1,0)上為減函數(shù)，在x206。(0,+165。)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(1,+165。)上的最小值為g(x)min=g(0)=0，∴當(dāng)x1時，g(x)179。g(0)=0，即ln(x+1)+∴l(xiāng)n(x+1)179。111x+111179。0x+1x+1【警