【正文】 第一篇：用放縮法證明數(shù)列求和中的不等式用放縮法證明數(shù)列求和中的不等式近幾年，高考試題常把數(shù)列與不等式的綜合題作為壓軸題，而壓軸題的最后一問又重點考查用放縮法證明不等式，這類試題技巧性強，難度大，做題時要把握放縮度，并能自我調(diào)整，因此應(yīng)加強此類題目的訓(xùn)練。高考題展示：（2006年全國卷I）設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和Sn=412an180。2n+1+，n=1,2,3,ggg 333n32ngg，證明：229。Ti（Ⅰ）求首項a1與通項an；（Ⅱ）設(shè)Tn=，n=1,2,3,g2Sni=1nn解：易求an=42（其中n為正整數(shù)）4124122Sn=an180。2n+1+=(4n2n)180。2n+1+=(2n+11)(2n1)3333333nn2323230。11246。Tn==180。n+1=180。231。247。Sn2212n12232。2n12n+11248。所以：229。T=2180。231。232。2ii=1n3230。11246。3247。112n+11248。2（2006年福建卷）已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n206。N*).（I）求數(shù)列{an}的通項公式；（II）證明：an1a1a2n++...+n(n206。N*).23a2a3an+12解：（I）易求an=221(n206。N*).ak2k12k11=k+1=,k=1,2,...,n,（II）證明：Qak+1212(2k1)22aaan\1+2+...+n.a2a3an+12ak2k11111111Q=k+1==179。.,k=1,2,...,n, ak+12122(2k+11)+2k2232kaaan1111n11n1\1+2+...+n179。(+2+...+n)=(1n), a2a3an+12322223223an1aan\1+2+...+n(n206。N*).23a2a3an+12111115S=++L+，證明：nn2122232n23點評：兩個高考題向我們說明了數(shù)列求和中不等關(guān)系證明的兩種方法：，求和后消去中間項（裂項法）與放縮法的結(jié)合；。{an}中an=放縮一：1111(n179。2)=2nn(n1)n1n***++L+(++++)+(++L+)222222222123n123455667n1n***238924005+1++=1+1+=.＝1+36400n36400360036003Sn=點評：此種放縮為常規(guī)法，學(xué)生很容易想到，但需要保留前5項，從第6項開始放大，才能達到證題目的，這一點學(xué)生往往又想不到，或因意志力不堅強而放棄。需要保留前5項，說明放大的程度過大，能不能作一下調(diào)節(jié)？ 放縮二：111111==(),(n179。2)n2n21(n+1)(n1)2n1n+1***++L+(+)+(++L++)122232n2122222435n2nn1n+***5+(+)+(+)=.4223nn+142233Sn=點評：此種方法放大幅度較（一）小，更接近于原式，只需保留前2項，從第3項開始放大，能較容易想到，還能再進一步逼近原式？ 放縮三：1111111==()=2(),(n179。1)211111n2n12n+1n2(n+)(n)nn+42222Sn=1111111111115++L+1+2(++L+)=1+2()122232n235572n12n+132n+13本題點評：隨著放縮程度的不同，前面需保留不動的項數(shù)也隨著發(fā)生變化，放縮程度越小，精確度越高，保留不動的項數(shù)就越少，運算越簡單，因此，用放縮法解題時，放縮后的式子要盡可能地接近原式，減小放縮度，以避免運算上的麻煩。n2n{an}中an=n，求證：229。ai(ai1)=12i12i2i111方法一：ai(ai1)=i==(21)(22)(21)(21)2121\229。ai(ai1)i=1n211111111+()+()+L+()=3(21)21212121212121方法二：2i1111ai(ai1)=i=163。.(i179。2)(21)22i2+2i22i+2i22i12i2211111\229。ai(ai1)2++2+L+n1=2+(1n1)=3n1=1點評：方法一用的是放縮法后用裂項法求和；方法二是通過放縮轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，從數(shù)值上看方法二較方法一最后結(jié)果的精確度高(Q3明的結(jié)果3。同類題訓(xùn)練：{an}中an=，Sn是數(shù)列的前n項和，證明：1)Sn n113)，(2n,23n)到直線系ln:22nxy+2n=0中相應(yīng)直線的距離為dn,求證：d1+d2+K+dn1.第二篇：放縮法證明數(shù)列不等式放縮法證明數(shù)列不等式基礎(chǔ)知識回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見的數(shù)列求和方法和通項公式特點：① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）② 等比數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數(shù)列的每一項裂項之后正負(fù)能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：① 在數(shù)列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項公式入手② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號同方向）③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項相消的數(shù)列進行靠攏。④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設(shè)計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。（3）放縮構(gòu)造裂項相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：① 裂項相消：在放縮時，所構(gòu)造的通項公式要具備“依項同構(gòu)”的特點，即作差的兩項可視為同一數(shù)列的相鄰兩項（或等距離間隔項）② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項與公比，進而得出等比數(shù)列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。注：此方法會存在風(fēng)險，所猜出的等比數(shù)列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進行放縮，受數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)影響（4）與數(shù)列中的項相關(guān)的不等式問題：① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形② 在有些關(guān)于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。或錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達到一側(cè)為錯誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進而完成證明 應(yīng)用舉例:類型一：與前n項和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；（2）設(shè)錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍．！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。（1）求數(shù)列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.類型二、與通項運算相關(guān)的不等式 ！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）．！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數(shù)，且錯誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項；②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，設(shè)錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；②設(shè)錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。實戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；（2）求錯誤！未找到引用源。；（3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源