【正文】 2)。（1）求an；（2++L2 {an}中，已知a1=2,an+1an=2anan+1；（1）求an；（2）證明：a1(a11)+a2(a21)+a3(a31)+L+an(an1)32n+{an}滿足：a1=2,an+1=； n(n+)an+225112n（1）設(shè)bn=，求bn；（2）記=，求證：163。是公差為1的等差數(shù)列，且an+1=nn238。an252。N*； an{}（2）解關(guān)于數(shù)列n的不等式：an+1(sn+1+sn)4n8（3）記bn=2sn,Tn=331111Tn+++L+，證明：1 2b1b2b3bn{an}滿足：237。2)（2）．2（1k1k+1)=在解題時(shí)朝著什么方向進(jìn)行放縮，是解題的關(guān)鍵，一般要看證明的結(jié)果是什么形式．如例２要證明的結(jié)論n2+3n2n(n+1)22為等差數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為等差數(shù)11)為等比數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通nn+1項(xiàng)放縮為等比數(shù)列，再求和即可；如例4要證明的結(jié)論3n1為差比數(shù)列求和結(jié)果的類22型，則把通項(xiàng)放縮為差比數(shù)列，再求和即可；如例5要證明的結(jié)論2n+3為n+1n+2列，再求和即可；如例3要證明的結(jié)論(1裂項(xiàng)相消求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為相鄰兩項(xiàng)或相隔一項(xiàng)的差，再求和即可．雖然證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式問題是高中數(shù)學(xué)中比較困難的問題，但是我們通過仔細(xì)分析它的條件與要證明的結(jié)論之間的內(nèi)在關(guān)系，先確定能不能直接求和，若不能直接求和則要考慮把通項(xiàng)朝什么方向進(jìn)行放縮．如果我們平時(shí)能多觀測要證明結(jié)論的特征與數(shù)列求和之間的關(guān)系，則仍然容易找到解決這類問題的突破口．《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2007年第8期刊號ISSN 1007—1830第五篇：放縮法證明數(shù)列不等式經(jīng)典例題放縮法證明數(shù)列不等式主要放縮技能： =2= nn+1n(n+1)nn(n1)n1n114411===2()22n4n1(2n+1)(2n1)2n12n+1n242.=== ===2)= ====== ==(21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)+22(n+1)n11== n(n+1)2n+1n(n+1)2n+1n2n(n+1)2n+1x2x+n*c=(n206。3n1．4．放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和例5．在m（m≥2）個(gè)不同數(shù)的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時(shí)Pi＞Pj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），(n+1)n(n1)L321的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)a1=1，排列321的逆序數(shù)a3=6．（1）求aa5，并寫出an的表達(dá)式；（2）令bn=ana+n+1，證明2nb1+b2+Lbn2n+3，n=1,2,….an+1ann(n+1).2解（1）由已知得a4=10,a5=15，an=n+(n1)+L+2+1=（2）因?yàn)閎n=anann+2nn+2+n+1=+2=2,n=1,2,L，an+1ann+2nn+2n所以b1+b2+L+bn+222+=2+,n=1,2,L，n+2nnn+2111111)] 所以b1+b2+L+bn=2n+2[()+()+L+(1324nn+2222n+3.=2n+3n+1n+2又因?yàn)閎n=綜上，2nb1+b2+Lbn2n+3,n=1,2,：常用放縮的結(jié)論：（1）1111111=2=(k179。+2+L+n1．2222212n1112n1令Sn=+2+L+n1，所以Sn=2+3+L+n，兩式相減得：222222211111n1n+1n+1Sn=+2+3+L+n1n，所以Sn=2n1，所以an179。a1=1，2nnn12n1即an+1an=nan179。++L+=1323223332n32n123．放縮后為差比數(shù)列，再求和例4．已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=(1+n)an(n=1,2,3L)．求證： 2nan+1an179。(a+1)an．（2）∵A9A7=a8+a9，A8A9=a9，a8+a9=a9，∴公比q=a91=．a(chǎn)82∴an=()． bn=n1n11()n=．163。(a+1)an．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a－1≥1，且an≥a2，于是a2n(a)n=an(an1)179。3n(n+1)23n+1++L+ ++L+222222S2+LSn12+22+L+n2=n(n+1)22=Sn2==；S1+2．放縮后成等比數(shù)列，再求和例3．（1）設(shè)a，n∈N*，a≥2，證明：a2n(a)n179。=2224（2）因?yàn)閚n(n+1)n+1，所以n2n(n+1)n+1，所以 S1+S2+LSn=n2+3n22Sn+1121180。2時(shí)，4Sn1=(an1+1)2，作差得：22所以(an+an1)(anan12)=0，又因?yàn)閧an}為正數(shù)數(shù)4an=an+2anan12an1，列，所以anan1=2，即{an}是公差為2的等差數(shù)列，由2S1=a1+1，得a1=1，所以an=2n1（2）bn=11111==()，所以 anan+1(2n1)(2n+1)22n12n+1Bn=111111111(1+L)= 23352n12n+122(2n+1)2注：一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式．如果此數(shù)列的前n項(xiàng)和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列{an}滿足條件an+1an=f(n)）求和或者利用分組、裂項(xiàng)、倒序相加等方法來求和．二．先放縮再求和1．放縮后成等差數(shù)列，再求和例2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an+an=+an+12(1)求證：Sn；4(2)解：（1）在條件中，令n=1，得a1+a1=2S1=2a1，Qa10\a1=1，又由條件22an+an=2Sn有an+1+an+1=2Sn+1，上述兩式相減，注意到an+1=Sn+1Sn得(an+1+an)(an+1an1)=0Qan0\an+1+an0∴an+1an=1所以，an=1+1180。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。ln(n+2)ln2 n+1248。1xdx=lnxn+22法3：數(shù)歸證明：、（1）求證：2n++L+246。1232。232。247。230。ln(n+2)ln2 n+1248。2246。230。L180。230。ln180。n+1248。n+2246。234nn+1232。247。nln+ln+ln+L+ln+ln247。246。1∴n231。n+1n+1248。ln231。20，則1246。又∵x0時(shí)，有xln(1+x)，令x=1n+1230。23n+1n+1232。1=n231。an=．（3）法1：a1+a2+L+an=111+1+112+1+L+111246。an1254。1=2，公差為1，是等差數(shù)列，首項(xiàng)為253。236。ln(1+x)163。(0)=0，即x=0是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)f(x)=ln(1+x)x163。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x0時(shí)，f39。x；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）求證不等式：a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2)． 解：（1）f(x)=ln(1+x)x，f39。i=1ai(ai1)2+++L+n1=2+(112)=3n1n1法3：數(shù)歸證\229。22ii1.(i179。ai(ai1)=1方法一：ai(ai1)=ni2121iii(21)(22)=ii1i1(21)(21)=i11121i.\229。Qan+11=an(an1)\1an+111an1a1=1an11an\=1an11a21an+111a2006\++L+=（1a1111a211)+（1a211a31)+L+（1a200611a20071)=a11a200711=1a1a2La20061又a1a2La2006a12006=22006\11a1a2La200612006\原不等式得證。解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。N，有an+1=anan1La2a1+1成立。N恒有an+1an成立。n==法2：放縮后裂項(xiàng)求和an=21212n+1n1（=212(21nn)1=n+1=121(2n+1n1)(21)n=21nn+11)法3：數(shù)歸，但是直接去證是不行的，要轉(zhuǎn)化為一個(gè)加強(qiáng)命題4．定義數(shù)列如下：a1=2,an+1=anan+1,n206。N+)，求證：229。3)(k179。n+kn1k!163。k(k1)k(k+1)2,k206。1233。2)Sn=54++L+1n（11+2)+111111111(++L++)22435n2nn1n+1+1111151115(+)+(+)=.223nn+142233放縮三：1n1n=(n+112)(n12)=（1n1n+12)=2（12n112n+1),(n179。N)++L+1n1n31n11n法1：放縮一：n(n1)=(n179。2121248。1n+1247。180。i=1Ti=313230。2121248。nn+1247。180。2n+1+=(2n+11)(21)nSn(2n+11)(21)=1230。180