【正文】 N*)+12+13+......+1n2n(n206。N*)：：：：23n 1+111722+32+......+n24(n206。N*)(n206。5+15180。N*)例2(2013廣東文19第(3)問)求證：11180。N*(1）an179。3時，證明對所有的n179。n+{an}的通項公式 2）證明：1a+113a+.......+12an2變式：求證：121+121+1152231+......+2n13(n206。238。N*2+1)例３.（２０１４全國卷Ⅱ１{an}滿足a1=1,an+1=3an+1,1）證明：236。N*)22：+2+3+....+n1(n206。2+23+...+n(n+1)p例１.（１９８５全國卷）求證：(n206。N*)1qn(n+1)n(n+2)p1an1dan1ana1(1qn)（q185。qn,sn=３．錯位相減法：等差等比４．裂項相消法：若anan1=d(d為常數(shù)）：１．放縮目標(biāo)模型：可求和 １．１等差模型1111=()(n206。an=_____sn=______(n206。為了揭開放縮法的神秘面紗，黃老師特開設(shè)這一專題，帶領(lǐng)大家走近“放縮法”。222a2a3an11111)(1+)(1+)L(1+)4 b1b2b3bn4第五篇：放縮法與數(shù)列不等式的證明2017高三復(fù)習(xí)靈中黃老師的專題放縮法證明數(shù)列不等式編號：001 引子：放縮法證明數(shù)列不等式歷來是高中數(shù)學(xué)的難點，在高考數(shù)列試題中經(jīng)常扮演壓軸的角色。c1+c2+c3+L+ 162n(n+1)an+1an{an}的前n項的和為sn滿足：sn1,6sn=(an+1)(an+2)；（1）求an；（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足an(2n1)=1,并記Tn=b1+b2+b3+L+bn，b求證：3Tn+1log2n(a+3)（函數(shù)的單調(diào)性，貝努力不等式，構(gòu)造，數(shù)學(xué)歸納法）{an}滿足：a1=1,nan+1(n+1)an=+1，anan+1記b1=a1,bn=n[a1+（1）求an；（2）證明：(1+2111++L+](n179。254。an+1； 253。n+2236。N)=的最小值為，最大值為，且abnnn2x+1（1）求；（2）證明：：161+{an}的前n項的和為sn，且an+2（1）求證：數(shù)列sn是等差數(shù)列； 11117+++L+ 444c14c2c34+L+17 1=2sn，n206。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。ln(n+2)ln2 n+1248。1xdx=lnxn+22法3：數(shù)歸證明：、（1）求證：2n++L+246。1232。232。247。230。ln(n+2)ln2 n+1248。2246。230。L180。230。ln180。n+1248。n+2246。234nn+1232。247。nln+ln+ln+L+ln+ln247。246。1∴n231。n+1n+1248。ln231。20，則1246。又∵x0時，有xln(1+x)，令x=1n+1230。23n+1n+1232。1=n231。an=．（3）法1：a1+a2+L+an=111+1+112+1+L+111246。an1254。1=2，公差為1，是等差數(shù)列，首項為253。236。ln(1+x)163。(0)=0，即x=0是極大值點，也是最大值點f(x)=ln(1+x)x163。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x0時，f39。x；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）求證不等式：a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2)． 解：（1）f(x)=ln(1+x)x，f39。i=1ai(ai1)2+++L+n1=2+(112)=3n1n1法3：數(shù)歸證\229。22ii1.(i179。ai(ai1)=1方法一：ai(ai1)=ni2121iii(21)(22)=ii1i1(21)(21)=i11121i.\229。Qan+11=an(an1)\1an+111an1a1=1an11an\=1an11a21an+111a2006\++L+=（1a1111a211)+（1a211a31)+L+（1a200611a20071)=a11a200711=1a1a2La20061又a1a2La2006a12006=22006\11a1a2La200612006\原不等式得證。解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。N，有an+1=anan1La2a1+1成立。N恒有an+1an成立。n==法2：放縮后裂項求和an=21212n+1n1（=212(21nn)1=n+1=121(2n+1n1)(21)n=21nn+11)法3：數(shù)歸，但是直接去證是不行的，要轉(zhuǎn)化為一個加強(qiáng)命題4．定義數(shù)列如下：a1=2,an+1=anan+1,n206。N+)，求證：229。3)(k179。n+kn1k!163。k(k1)k(k+1)2,k206。1233。2)Sn=54++L+1n（11+2)+111111111(++L++)22435n2nn1n+1+1111151115(+)+(+)=.223nn+142233放縮三：1n1n=(n+112)(n12)=（1n1n+12)=2（12n112n+1),(n179。N)++L+1n1n31n11n法1：放縮一：n(n1)=(n179。2121248。1n+1247。180。i=1Ti=313230。2121248。nn+1247。180。2n+1+=(2n+11)(21)nSn(2n+11)(21)=1230。180。2nn+1+3(n=1,2,3,L)n（Ⅰ）求首項a1與通項an；（Ⅱ）設(shè)Tn=an=42nn2Sn(n=1,2,3,L)，證明：229。即錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，組成公比為錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。的通項公式； ②在錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。．（1）若錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。其中n∈N*．（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{}的通項公式；（2）若存在實數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 【答案】（1）＝1．（2）．已知各項不為零的數(shù)列錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}，{}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。其中錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯誤！未找到引用源。當(dāng)錯誤！未找到引用源。當(dāng)錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯誤！未找到引用源。.以下證明： 錯誤！未找到引用源。首項大于錯誤！未找到引用源。即數(shù)列錯誤！未找到引用源。則錯誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。滿足條件，當(dāng)錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，又錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，所以錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列.（2）因為的任意的錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。從而錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。.【答案】（1）見解析（2）錯誤！未找到引用源。的取值集合；（3）記錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯誤！未找到引用源。均有錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；（2）若 錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.8．記等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。進(jìn)而求出錯誤！未找到引用源。經(jīng)檢驗錯誤！未找到引用源。可得錯誤！未找到引用源。又錯誤！未找到引用源。即可獲證錯誤！未找到引用源。同理可得錯誤！未找到引用源。.點睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。故錯誤！未找到引用源。經(jīng)檢驗錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。又錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。同理可得錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。所以對錯誤！未找到引用源。.（2）因為集合錯誤！未找到引用源。求錯誤！未找到引用源。并說明理由；（2）求證： 錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。綜上，錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。兩式相減得錯誤！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證：當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。.因此錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。.當(dāng)錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。． 又錯誤！未找到引用源。試題解析：（1）由錯誤！未找到引用源。可求得錯誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯誤！未找到引用源。；（2）存在，錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最小值；（3）若數(shù)列錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。的通項公式；（2）是否存在自然數(shù)錯誤！未找到引用源。．（1）求數(shù)列錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。其中，錯誤！未找到引用源。的關(guān)系式．3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列滿足，且． 的前項和為，滿足，．?dāng)?shù)列（1）求數(shù)列