【正文】 N*)+11132+52+......+(2n1)2321115：1+2+2+......+235(2n1)4常見的放縮技巧總結(jié)：。N*)1+12+115232+......+n24(n206。N*)：1+2+2+......+22(n206。7+L+11(2n1)(2n+1)2：n12n+122+32+......+n2n(n206。3+13180。n+2（2）證明：1a1+1a+.......+111+2+1an+12：12+1+23n22+2+23+3+.......+2n+n2(n206。1,n206。N*)例４.（２００２全國卷理２２題７題）第２問已知數(shù)已知數(shù)列列（（）{an}滿足an+1=an2nan+1,n=1,2,3.......當(dāng)a1179。a1252。237。N*)2222：1+12+1+11223+1+......+2n+11(n206。3+...+n(n+1)p變式：(n206。N*)22n(n+1)n(n+3)p12+21）(n206。N*)anN*)２．等比數(shù)列的和：an=k一．放縮法證明不等式的理論依據(jù)： １．不等式的傳遞性：２．同向不等式的可加性：３．同向的正數(shù)不等式的可乘性：二．常見的數(shù)列求和的方法及公式特點(diǎn)： １．等差數(shù)列的和。由于放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂“放大一點(diǎn)點(diǎn)太大，縮小一點(diǎn)點(diǎn)太小”。2)。（1）求an；（2++L2 {an}中，已知a1=2,an+1an=2anan+1；（1）求an；（2）證明：a1(a11)+a2(a21)+a3(a31)+L+an(an1)32n+{an}滿足：a1=2,an+1=； n(n+)an+225112n（1）設(shè)bn=，求bn；（2）記=，求證：163。是公差為1的等差數(shù)列，且an+1=nn238。an252。N*； an{}（2）解關(guān)于數(shù)列n的不等式：an+1(sn+1+sn)4n8（3）記bn=2sn,Tn=331111Tn+++L+，證明：1 2b1b2b3bn{an}滿足：237。1+x證明x第四篇：放縮法證明數(shù)列不等式經(jīng)典例題放縮法證明數(shù)列不等式主要放縮技能： =2= nn+1n(n+1)nn(n1)n1n114411===2()22n4n1(2n+1)(2n1)2n12n+1n242.=== ===2)= ====== ==(21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)+22(n+1)n11== n(n+1)2n+1n(n+1)2n+1n2n(n+1)2n+1x2x+n*c=(n206。+2n+1(n2,n206。247。2n+2242。2230。3n+1248。1++L+231。1++L+11246。247。1232。ln2n) (nl+∴a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2) ． 法2：積分法要證原命題，即證：231。343180。232。2=n231。n+2=nl=n+247。248。 n+1248。231。230。+3+L+345n+1n+2246。n+1232。1+=ln 247。n+2230。1232。248。++L+247。230。nn+1∴an1=n1222。a11238。252。x，當(dāng)x=0時取到等號．（2）法1：數(shù)學(xué)歸納法（先猜想，再證明）法2：由ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)得2an+1=an+1an+1，an+1=12an，an+11=12an1=an12an，1an+11=1an11，即數(shù)列237。f(0)=0222。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)．所以f39。(x)=11+x1=x1+x，當(dāng)1x0時，f39。i=1ai(ai1)3121n3.（即轉(zhuǎn)化為證明加強(qiáng)命題）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x，數(shù)列{an}滿足：a1=2,ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)．（1）求證：ln(1+x)163。2)n\229。i=1ai(ai1)(21)+（121121)+（121121)+L+（12n11121n)=3121n：ai(ai1)=ii(21)=i122+i122i122+i163。5．已知數(shù)列{an}中an=iinnn21，求證：229。（2）由an+1=anan+1得：an+11=an(an1)\an1=an1(an11)……a21=a1(a11)以上各式兩邊分別相乘得：an+11=anan1La2a1(a11)，又a1=2\an+1=anan1La2a1+1（3）要證不等式120061a1+1a2+L+1a20061，可先設(shè)法求和：1a1+1a2+L+a2006，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。（3）120061a1+1a2+L+1a20061。2**（2）當(dāng)n2且n206。N*證明：（1）對于n206。aii=1n2法1：均值不等式：即證++715n2+...+212n+1n1+n2也即：++715+...+212nn+1n1而:++715+...+212n+11179。2)；212n+1nk!k(k1)(k2)nan=例3：已知：1(n206。+1n+2+...+kn+11(k179。1n+k163。2235。N)234。11*(k179。1)Sn=++L+1n1+2（13++L+12n112n+1)=1+2（1312n+1)法2：數(shù)歸——加強(qiáng)命題：常用的放縮公式：1n(n+1)2n+n+11n+L+1n1n1n(n1)1n；n+n12nn+n+1；=nn+2n1；aba+mb+m(ba0,m0)1kk(k+1)(k1)1n+11k(k1)=249。2)Sn=+++L+1n1n(1336++++52)+（15=1653++L+1n11n)＝1+13361214001++1121400=1+23893600(11+24003600.放縮二：1n1n1=(n+1)(n1)=2n1n+1),(n179。2求證：（1）11+法1：數(shù)歸（兩邊都可以）法2：放縮裂項(xiàng) 法3：定積分放縮（2）22L+n206。2232。231。1246。所以：229。2232。231。1246。2n+1+=(4n23n)180。Tii=1解：易求Sn=Tn=（其中n為正整數(shù)）nn432nan=n13180。第三篇：放縮法證明數(shù)列不等式放縮法證明不等式設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn=43an13180。的等比數(shù)列，故有錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。在錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。的最大值．【答案】（1）錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。(n＋2)＝錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。綜上，錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。時，因?yàn)殄e誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。因?yàn)殄e誤！未找到引用源。其中錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，記公比為錯誤！未找到引用源。是公比大于錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。的取值集合為錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。時，因?yàn)殄e誤！未找到引用源。顯然，錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。都是公差為錯誤！未找到引用源。即數(shù)列錯誤！未找到引用源。所以當(dāng)錯誤！未找到引用源。則錯誤！未找到引用源。（3）見解析解：（1）設(shè)等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。求證： 錯誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。對任意錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。因此構(gòu)成數(shù)集錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。；證明第三問時，充分借助（2）的結(jié)論可知錯誤！未找到引用源。再將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。求解第一問時，直接運(yùn)用題設(shè)條件中所提供的條件信息進(jìn)行驗(yàn)證即可；解答第二問時，先運(yùn)用題設(shè)條件中定義的信息可得錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。構(gòu)成數(shù)集錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯誤！未找到引用源。將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。又因?yàn)殄e誤！未找到引用源。而言，存在錯誤！未找到引用源。