【正文】 ② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號同方向）③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項相消的數(shù)列進行靠攏。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）② 等比數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。本題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件裂項求和。（3）120061a1+1a2+L+1a20061。N* 證明：（1）對于n206。這里需要對m進行分類討論，（1）當m為偶數(shù)(m4)時，1a41a51am1a412+++L+=+(31a51+1a61)+L+（1am11m2+1am)22221311=+180。n例2（04全國三）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn=2an+(1)，n179。179。1an1+1n\1an11an1(n179。1n12+13+L+1n12[log2n],其中n為不大于2的整數(shù)，22n的最大整數(shù)。第一篇：放縮法證明“數(shù)列+不等式”問題的兩條途徑放縮法證明“數(shù)列+不等式”問題的兩條途徑數(shù)列與不等式的綜合問題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年命題的熱點，解決這類問題常常用到放縮法。設(shè)數(shù)列{an}的各項為正且滿足2b2+b[loga1=b(b0),an163。2)an1an2179。1n+1n11n1+L+1an1b1b+1n12++L++[logn](n179。1（1）寫出數(shù)列{an}的前三項a1，a2，a3；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）證明：對任意的整數(shù)m4，有1a4+1a5+L+1am78分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：an=SnSn1=2an+(1)n2an1(1)n1（n1）化簡得：an=2an1+2(1)n1 an(1)n=2an1(1)n12,an(1)n+3=2[an1(1)n1+]故數(shù)列{an(1)2n+}是以a1+為首項, an(1)n+12n2n1n=()(2)∴an=[2(1)]33323[2n2∴數(shù)列{an}的通項公式為：an=(1)].n⑶觀察要證的不等式，左邊很復(fù)雜，先要設(shè)法對左邊的項進行適當?shù)姆趴s，使之能夠求和。(1m4)2242137+=288(++L+)（2）當m是奇數(shù)(m4)時，m+1為偶數(shù)，1a41a51am1a41a51a41a61a51am1am1am+178++L++++L++所以對任意整數(shù)m4，有++L+。N*恒有an+1an成立。分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。第二篇：放縮法證明數(shù)列不等式放縮法證明數(shù)列不等式基礎(chǔ)知識回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見的數(shù)列求和方法和通項公式特點：① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項不動，其余項放縮。如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。公比為錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達到一側(cè)為錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。）．（1）求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯誤！未找到引用源。若不等式錯誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。定義錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。的通項；②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。時，設(shè)錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。注：對于錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。；（3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；⑵ 設(shè)錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。試求數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。時，求證：當錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。．記等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；（2）若 錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}，{}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。．（1）若錯誤！未找到引用源。的通項公式；②在錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設(shè)計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項與公比，進而得出等比數(shù)列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。即通項公式為錯誤！未找到引用源。另一側(cè)為求和的結(jié)果，進而完成證明 應(yīng)用舉例:類型一：與前n項和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。的通項公式；（2）設(shè)錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，則有錯誤！未找到引用源。故錯誤！未找到引用源。得錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。定義錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。因此錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．故錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。的通項；②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。時，設(shè)錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列，當錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。實戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。；（2）求錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。即只要滿足 ①：錯誤！未找到引用源。為奇數(shù)時，滿足錯誤！未找到引用源。令錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。其中錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，只要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。的取值范圍是錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。使得對于任意錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．【答案】（1）錯誤！未找到引用源。將問題轉(zhuǎn)化成錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。．點睛：數(shù)列求和時，要根據(jù)數(shù)列項的特點選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和等。且滿足錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．（2）當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。當錯誤！未找到引用源。．6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個無窮數(shù)列的前項和分別為（1），其中，設(shè)數(shù)列都為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點數(shù)列”，求 為“墜點數(shù)列”，數(shù)列，使得，稱數(shù)列為“墜點數(shù)列”.為“墜點數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）.（2）①，② ．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯誤！未找到引用源。；（2）若錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。又因為錯誤！未找到引用源。將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。求解第一問時，直接運用題設(shè)條件中所提供的條件信息進行驗證即可；解答第二問時，先運用題設(shè)條件中定義的信息可得錯誤！未找到引用源。；證明第三問時，充分借助（2）的結(jié)論可知錯誤！未找到引用源。因此構(gòu)成數(shù)集錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。求證： 錯誤！未找到引用源。則錯誤！未找到引用源。即數(shù)列錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。顯然，錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。是公比大于錯誤！未找到引用源。其中錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。綜上，錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。