不等式放縮技巧十法-wenkub
2023-07-09 19:24:35 本頁面
【正文】 ，故有，得證。 利用上述部分放縮的結論來放縮通項，可得 【注】上述證明用到部分放縮，當然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結論。再如：設函數(shù)。[簡析] 本題可用數(shù)學歸納法證明，詳參高考評分標準；這里給出運用柯西（）不等式的簡捷證法：而由不等式得(時取等號) （），得證！例7 已知用數(shù)學歸納法證明；對對都成立，證明（無理數(shù)）[解析] 結合第問結論及所給題設條件（）的結構特征，可得放縮思路：。 請分析下述求法：因為，所以有 故的最大值為，且此時有。證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下十種：一 利用重要不等式放縮1. 均值不等式法例1 設求證解析 此數(shù)列的通項為，即 注：①應注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！②根據(jù)所證不等式的結構特征來選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用。 上述解題過程貌似完美，其實細細推敲，是大有問題的：取“＝”的條件是，即必須有，即只有p=q時才成立！那么，呢？其實例6的方法照樣可用，只需做稍稍變形轉(zhuǎn)化： 則有 于是，當且僅當 結合其結構特征，還可構造向量求解：設，則由立刻得解： 且取“＝”的充要條件是：。于是， 即【注】：題目所給條件（）為一有用結論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結論來放縮： ，即【例8】已知不等式。 （Ⅰ）求函數(shù)最小值；（Ⅱ）求證：對于任意，有【解析】（Ⅰ）1；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得，對x－1有，利用此結論進行巧妙賦值：取，則有即對于任意，有例9 設，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且[解析] 引入一個結論：若則（可通過構造一個等比數(shù)列求和放縮來證明，略）整理上式得（），以代入（）式得即單調(diào)遞增。三 添減項放縮上述例5之法2就是利用二項展開式進行減項放縮的例子。【注】①本題為02年高考北京卷題，有著深厚的科學背景：是計算機開平方設計迭代程序的根據(jù)；同時有著高等數(shù)學背景——數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限： ②是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導作用。例18 設，定義，求證：對一切正整數(shù)有[解析]
范文總結相關推薦
鄂ICP備17016276號-1