不等式放縮技巧十法-wenkub
2023-07-09 19:24:35 本頁面
【正文】 ，故有，得證。 利用上述部分放縮的結(jié)論來放縮通項(xiàng)，可得 【注】上述證明用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論。再如：設(shè)函數(shù)。[簡(jiǎn)析] 本題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，詳參高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)；這里給出運(yùn)用柯西（）不等式的簡(jiǎn)捷證法：而由不等式得(時(shí)取等號(hào)) （），得證！例7 已知用數(shù)學(xué)歸納法證明；對(duì)對(duì)都成立，證明（無理數(shù)）[解析] 結(jié)合第問結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。 請(qǐng)分析下述求法：因?yàn)?，所以? 故的最大值為，且此時(shí)有。證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下十種：一 利用重要不等式放縮1. 均值不等式法例1 設(shè)求證解析 此數(shù)列的通項(xiàng)為，即 注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用。 上述解題過程貌似完美，其實(shí)細(xì)細(xì)推敲，是大有問題的：取“＝”的條件是，即必須有，即只有p=q時(shí)才成立！那么，呢？其實(shí)例6的方法照樣可用，只需做稍稍變形轉(zhuǎn)化： 則有 于是，當(dāng)且僅當(dāng) 結(jié)合其結(jié)構(gòu)特征，還可構(gòu)造向量求解：設(shè)，則由立刻得解： 且取“＝”的充要條件是：。于是， 即【注】：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來放縮： ，即【例8】已知不等式。 （Ⅰ）求函數(shù)最小值；（Ⅱ）求證：對(duì)于任意，有【解析】（Ⅰ）1；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得，對(duì)x－1有，利用此結(jié)論進(jìn)行巧妙賦值：取，則有即對(duì)于任意，有例9 設(shè)，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且[解析] 引入一個(gè)結(jié)論：若則（可通過構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列求和放縮來證明，略）整理上式得（），以代入（）式得即單調(diào)遞增。三 添減項(xiàng)放縮上述例5之法2就是利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行減項(xiàng)放縮的例子?！咀ⅰ竣俦绢}為02年高考北京卷題，有著深厚的科學(xué)背景：是計(jì)算機(jī)開平方設(shè)計(jì)迭代程序的根據(jù)；同時(shí)有著高等數(shù)學(xué)背景——數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限： ②是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對(duì)此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。例18 設(shè)，定義，求證：對(duì)一切正整數(shù)有[解析]
范文總結(jié)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1