不等式放縮技巧十法(編輯修改稿)
2024-07-21 19:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 界因而有極限： ②是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對(duì)此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。五 換元放縮例16 求證[簡(jiǎn)析] 令，這里則有，從而有注：通過換元化為冪的形式，為成功運(yùn)用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。例17 設(shè)，求證.[簡(jiǎn)析] 令，則，應(yīng)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行部分放縮有，注意到，則（證明從略），因此.六 遞推放縮遞推放縮的典型例子，可參考上述例11中利用部分放縮所得結(jié)論 進(jìn)行遞推放縮來證明，同理例7中所得和、例8中、 例13（Ⅰ）之法2所得都是進(jìn)行遞推放縮的關(guān)鍵式。七 轉(zhuǎn)化為加強(qiáng)命題放縮如上述例10第問所證不等式右邊為常數(shù)，難以直接使用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以通過從特值入手進(jìn)行歸納探索、或運(yùn)用逆向思維探索轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：再用數(shù)學(xué)歸納法證明此加強(qiáng)命題，就容易多了。例18 設(shè)，定義，求證：對(duì)一切正整數(shù)有[解析] 用數(shù)學(xué)歸納法推時(shí)的結(jié)論，僅用歸納假設(shè)及遞推式是難以證出的，因?yàn)槌霈F(xiàn)在分母上！可以逆向考慮：故將原問題轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：對(duì)一切正整數(shù)有（證略）例19 數(shù)列滿足證明[簡(jiǎn)析] 將問題一般化：先證明其加強(qiáng)命題用數(shù)學(xué)歸納法，只考慮第二步： 因此對(duì)一切有 例20 已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)n有a1a2……an2n！ [解析]：（1）將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n179。1）……1176。（2）證：據(jù)1176。得，a1a2…an＝，為證a1a2……an2n！，只要證n206。N*時(shí)有……2176。顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明一個(gè)加強(qiáng)不等式：對(duì)每個(gè)n206。N*，有179。1－（）……3176。（用數(shù)學(xué)歸納法，證略）利用3176。得179。1－（）＝1－＝1－。故2176。式成立，從而結(jié)論成立。八. 分項(xiàng)討論例21 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足 （Ⅰ）寫出數(shù)列的前3項(xiàng)；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）證明：對(duì)任意的整數(shù)，有.[簡(jiǎn)析] （Ⅰ）略，（Ⅱ） ；（Ⅲ）由于通項(xiàng)中含有，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論：當(dāng)且為奇數(shù)時(shí) （減項(xiàng)放縮），于是, ①當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)②當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)（添項(xiàng)放縮）由①知由①②得證。九. 借助數(shù)學(xué)歸納法例22（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，求的最小值；（Ⅱ）設(shè)正數(shù)滿足，求證：[解析] 這道高考題為05年全國(guó)卷Ⅰ第22題，內(nèi)蘊(yùn)豐富，有著深厚的科學(xué)背景：直接與高等數(shù)學(xué)的凸函數(shù)有關(guān)！更為深層的是信息科學(xué)中有關(guān)熵的問題。（Ⅰ）略，只證（Ⅱ）：考慮試題的編擬初衷，是為了考查數(shù)學(xué)歸納法，于是借鑒詹森不等式的證明思路有：法
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