不等式放縮技巧十法-文庫吧
2025-06-09 19:24 本頁面
【正文】 。于是， 即【注】：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結(jié)論來放縮： ，即【例8】已知不等式。表示不超過的最大整數(shù)。設(shè)正數(shù)數(shù)列滿足：求證【簡析】 當時，即 于是當時有 注：①本題涉及的和式為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可以利用所給題設(shè)結(jié)論來進行有效地放縮；②引入有用結(jié)論在解題中即時應(yīng)用，是近年來高考創(chuàng)新型試題的一個顯著特點，有利于培養(yǎng)學生的學習能力與創(chuàng)新意識。再如：設(shè)函數(shù)。 （Ⅰ）求函數(shù)最小值；（Ⅱ）求證：對于任意，有【解析】（Ⅰ）1；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得，對x－1有，利用此結(jié)論進行巧妙賦值：取，則有即對于任意，有例9 設(shè)，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且[解析] 引入一個結(jié)論：若則（可通過構(gòu)造一個等比數(shù)列求和放縮來證明，略）整理上式得（），以代入（）式得即單調(diào)遞增。以代入（）式得此式對一切正整數(shù)都成立，即對一切偶數(shù)有，又因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以對一切正整數(shù)有。 注：上述不等式可加強為簡證如下： 利用二項展開式進行部分放縮： 只取前兩項有對通項作如下放縮： 故有二 部分放縮例10 設(shè),求證：[解析] 又（只將其中一個變成，進行部分放縮），于是【例11】 設(shè)數(shù)列滿足，當時證明對所有 有：；.【解析】 用數(shù)學歸納法：當時顯然成立，假設(shè)當時成立即，則當時，成立。 利用上述部分放縮的結(jié)論來放縮通項，可得 【注】上述證明用到部分放縮，當然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論。三 添減項放縮上述例5之法2就是利用二項展開式進行減項放縮的例子。例12 設(shè)，求證.[簡析] 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得即，得證.例13 設(shè)數(shù)列滿足 （Ⅰ）證明對一切正整數(shù)成立；（Ⅱ）令，判定與的大小，并說明理由。[簡析] 本題有多種放縮證明方法，這里我們對（Ⅰ）進行減項放縮，有法1 用數(shù)學歸納法（只考慮第二步）；法2 則四 利用單調(diào)性放縮1. 構(gòu)造數(shù)列如對上述例1，令則，遞減，有，故再如例5，令則，即遞增，有，得證！2．構(gòu)造函數(shù)例14 已知函數(shù)的最大值不大于，又當時（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，證明[解析] （Ⅰ）=1 ；（Ⅱ）由得 且用數(shù)學歸納法（只看第二步）：在是增函數(shù)，則得例15 數(shù)列由下列條件確定：，．（I） 證明：對總有；(II) 證明：對總有[解析] 構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)。 當時在遞增，故 對(II)有，構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證?！咀ⅰ竣俦绢}為02年高考北京卷題，有著深厚的科學背景：是計算機開平方設(shè)計迭代程序的根據(jù)；同時有著高等數(shù)學背景——數(shù)列單調(diào)遞減有下
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