【正文】 in ??????? ??? 取 1?i 有 , )1ln(ln11 ???? nnn, 所以有nn 1211)1ln( ????? ?,所以綜上有nnn 1211)1ln(113121 ?????????? ?? 例 : en ?????? )!11()!311)(!211( ?和 en ?????? )311()8111)(911( 2?. 解析 :構(gòu)造函數(shù)后即可證明 例 : 32)]1(1[)321()211( ??????????? nenn? 解析 :1)1( 32]1)1(ln[ ?????? nnnn,疊加之后就可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式 : )0(13)1ln(1)0(132)1ln( ??????????? xxx xxxx(加強命題 ) 例 : )1*,(4 )1(1ln5 4ln4 3ln3 2ln ????????? nNnnnn n? 解析 :構(gòu)造函數(shù) )1(1)1()1ln ()( ?????? xxxxf ,求導(dǎo) ,可以得到 : 12111)(39。 ?????? x xxxf,令 0)(39。 ?xf 有 21 ??x ,令 0)(39。 ?xf 有 2?x , 所以 0)2()( ?? fxf ,所以 2)1ln( ??? xx ,令 12??nx 有 , 1ln 22 ??nn 所以211ln ??? nnn,所以 )1*,(4 )1(1ln5 4ln4 3ln3 2ln ????????? nNnnnn n? 例 14. 已知11 2 111, (1 ) .2nnna a ann?? ? ? ??證明 2nae? . 解析 : nnnnn annanna )21)1( 11(21))1( 11(1 ?????????, 然后兩邊取自然對數(shù) ,可以得到nnn anna ln)21)1( 11ln(ln 1 ?????? 然后運用 xx ?? )1ln( 和裂項可以得到答案 ) 放縮思路： ?????? nnn anna )2111( 21 ??????? nnn anna ln)2111ln(ln 21 FE DCBAn i nyxO nn nna 211ln 2 ????。于是nnn nnaa 211lnln 21 ?????， .22112211)21(111lnln)211()ln(l n 11211111 ??????????????? ?????? ?? nnniniiini nnaaiiaa 即 .2lnln 21 eaaa nn ???? 注：題目所給條件 ln(1 )xx??（ 0x? ）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結(jié)論)2)(1(2 ??? nnnn 來放縮： ??????? )1( 1))1( 11(1 nnanna nn ?????? )1)()1(1(11 nn anna .)1( 1))1( 11ln()1ln()1ln( 1 ????????? nnnnaa nn 111)1l n()1l n()1( 1)]1l n()1l n([ 212112 ????????????? ?? ????? naaiiaa nniiini ， 即 .133ln1)1ln ( 2eeaa nn ??????? 例 15.(20xx年廈門市質(zhì)檢 ) 已知函數(shù) )(xf 是在 ),0( ?? 上處處可導(dǎo)的函數(shù) ,若 )()(39。 xfxfx ?? 在 0?x 上恒成立 . (I)求證：函數(shù) ),0()()( ??? 在xxfxg上是增函數(shù)； (II)當 )()()(:,0,0 212121 xxfxfxfxx ????? 證明時 ； (III)已知不等式 01)1ln( ????? xxxx 且在 時恒成立， 求證： ).()2)(1(2)1l n()1( 14ln413ln312ln21 *22222222 Nnnn nnn ?????????? ? 解析 :(I) 0)()(39。)(39。2 ??? x xfxxfxg,所以函數(shù) ),0()()( ??? 在xxfxg上是增函數(shù) (II)因為 ),0()()( ??? 在xxfxg上是增函數(shù) ,所以 )()()()(2121 1121 211 1 xxfxx xxfxx xxfx xf ???????? )()()()( 2121 2221 212 2 xxfxx xxfxx xxfx xf ???????? 兩式相加后可以得到 )()()( 2121 xxfxfxf ??? (3) )()()()(2121 1121 211 1 nnn n xxxfxxx xxfxxx xxxfx xf ???????????? ???? ??? ? )()()()( 2121 2221 212 2 nnn n xxxfxxx xxfxxx xxxfx xf ???????????? ???? ??? ?…… )()()()( 212121 21 nnnnn nn n xxxfxxx xxfxxx xxxfx xf ???????????? ???? ??? ? 相加后可以得到 : )()()()( 2121 nn xxxfxfxfxf ??????? ?? 所以 )l n ()(lnlnlnln 2121332211 nnnn xxxxxxxxxxxxxx ??????????? ??? 令2)1( 1nxn ??, 有 ????????? ??????? 22222222 )1l n()1( 14ln413ln312ln21 nn? ???????? ????????????? ????? 2222222 )1( 13121ln)1( 1413121 nn ?? ?????? ??????????????? ????? nnn )1( 123 112 1ln)1( 13121 222 ?? )2)(1(2212111 ?????????? ???????? ??? nn nnn 所以 ).()2)(1(2)1l n()1( 14ln413ln312ln21 *22222222 Nnnn nnn ?????????? ? (方法二 ) ?????? ????????? ???? 21114ln)2)(1( 4ln)2)(1( )1l n()1( )1l n( 22 2 nnnnnn nn n 所以)2(2 4ln21214ln)1l n()1( 14ln413ln312ln21 22222222 ???????? ????????? nnnnn? 又1114ln ??? n,所以).()2)(1(2)1l n()1( 14ln413ln312ln21 *22222222 Nnnn nnn ?????????? ? 例 16.(20xx年福州市質(zhì)檢 )已知函數(shù) .ln)( xxxf ? 若 ).()(2ln)()(:,0,0 bfbafbaafba ??????? 證明 解析 :設(shè)函數(shù) ( ) ( ) ( ), ( 0)g x f x f k x k? ? ? ? .2021,0)(,ln1)l n (1ln)(.0),l n ()(ln)(,ln)(kxkxk kxxk xxgxkxxkxxgkxxkxkxxxgxxxf????????????????????????????則有令?? ∴ 函數(shù) kkxg ,2[)( 在）上單調(diào)遞增，在 ]2,0(k上單調(diào)遞減 . ∴ )(xg 的最小值為 )2(kg，即總有 ).2()( kgxg ? 而 ,2ln)()2ln(l n2ln)2()2()2( kkfkkkkkkfkfkg ???????? ,2ln)()( kkfxg ??? 即 .2ln)()()( kkfxkfxf ???? 令 , bxkax ??? 則 .bak ?? .2ln)()()()( babafbfaf ?????? ).()(2ln)()( bfbafbaaf ?????? 三、分式放縮 姐妹不等式 : )0,0( ?????? mabma mbab和 )0,0( ?????? mbama mbab 記憶口 訣 ”小者小 ,大者大 ” 解釋 :看 b,若 b 小 ,則不等號是小于號 ,反之 . 例 19. 姐妹不等式 : 12)12 11()511)(311)(11( ??????? nn?和 12 1)211()611)(411)(211( ?????? nn?也可以表示成為 12)12(531 2642 ??????? ??? nn n? ? 和 12 12642 )12(531 ?????? ????? nnn?? 解析 : 利用假分數(shù)的一個性質(zhì) )0,0( ?????? mabma mbab可得 ???? 12 2563412 n n? ???? nn2 12674523 ? )12(2 1265432 ????? nnn? ? 12)12 2563412( 2 ????? nn n? 即 .12)12 11()511)(311)(11( ??????? nn? 例 : .13)23 11()711)(411)(11( 3 ??????? nn? 解析 : 運用兩次次分式放縮 : 13 13784512 ???????????? n nnn ?? (加 1) nnnn 3 13784512 ???????????? ?? (加 2) 相乘 ,可以得到 : )13(13 2387542113 13784512 2 ?????????????????????? ?????? nnnnnnn ??? 所以有 .13)23 11()711)(411)(11( 3 ??????? nn? 四、分類放縮 例 :212 131211 nn ?????? ? 解析 : ??????????????? ?? )21212121()4141(21112 131211 3333n 2)211(221)212121( nn nnnnn ???????? ? 例 22.(20xx年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編 ) 在平面直角坐標系 xoy 中 , y 軸正半軸上的點列 ??nA 與曲線 xy 2? （ x ≥0）上的點列 ??nB 滿足nOBOA nn 1??，直線 nnBA 在 x 軸上的截距為 na .點 nB 的橫坐標為 nb , ??Nn . (1)證明 na 1?na 4， ??Nn 。 (2)證明有 ??Nn0 ，使得對 0nn?? 都有nnnn bbbbbbbb 112312 ?? ???? ? 20xx?n . 解析 :(1) 依題設(shè)有： ? ? ? ?10 , , , 2 , 0n n n n nA B b b bn?? ?????，由 1nOBn?得： 2*22112 , 1 1,n n nb b b n Nnn? ? ? ? ? ? ?,又直線 nnAB在 x 軸上的截距為 na 滿足 ? ? ? ?110 2 0 0n n na b bnn? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 12nn nba nb? ? 2 2 2 212 1 0 , 2n n n nn b n b b nb? ? ? ? ? ? ?2212 12 2 2 41212 nnnn n nnnnnb n bba b bn b n bn b n b?? ? ? ? ? ? ? ? ???22111 1 2 2 1na nn? ? ? ? ? ? ? 顯然， 對于 1101nn???，有 *1 4,nna a n N?? ? ? (2)證明：設(shè)*11,nn nbc n Nb?? ? ?，則 ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?22222222222 2 22211 111111 111 1 111 1 1 111 112 1 2 1 1 1 2 121 1 2 12 1 2 1nn n nn nnn nn n nnn n nnn? ? ? ?????? ? ???????