不等式證明20法-文庫吧
2024-10-28 23:16 本頁面
【正文】 。+(1+a)t+231。t247。234。+(1+a)t232。3248。232。3248。232。3248。235。3232。3248。235。311(1+a+a2)t2163。（因?yàn)?+a+a20，t2179。0），33所以ab+bc+ca163。=三角代換法借助三角變換，在證題中可使某些問題變易。例已知：a2+b2=1，x2+y2=1，求證：ax+by163。1。證明：設(shè)a=sinq，則b=cosq；設(shè)x=sinj，則y=cosj 所以ax+by=sinqsinj+cosqcosj=cos(qj)163。1。1判別式法通過構(gòu)造一元二次方程，利用關(guān)于某一變元的二次三項(xiàng)式有實(shí)根時(shí)判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式。例1設(shè)x,y206。R，且x2+y2=1，求證：yax163。+a2。證明：設(shè)m=yax，則y=ax+m代入x2+y2=1中得x2+(ax+m)2=1，即(1+a2)x2+2amx+(m21)=0 因?yàn)閤,y206。R，1+a2185。0，所以D179。0，即(2am)24(1+a2)(m21)179。0，解得m163。+a2，故yax163。+a2。1標(biāo)準(zhǔn)化法形如f(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn的函數(shù)，其中0xi163。p，且；當(dāng)x1+x2+L+xn為常數(shù)，則當(dāng)xi的值之間越接近時(shí)，f(x1,x2,L,xn)的值越大（或不變）x1=x2=L=xn時(shí)，f(x1,x2,L,xn)取最大值，即f(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn163。sinnx1+x2+L+xn。nA+B。2標(biāo)準(zhǔn)化定理：當(dāng)A+B為常數(shù)時(shí)，有sinAsinB163。sin2證明：記A+B=C，則f(A)=sinAsinBsin2A+BC=sinAsin(CA)sin2，22求導(dǎo)得f`(A)=sin(C2A)，由f`(A)=0得C=2A，即A=B 又由f``(A)=cos(BA)0知f`(A)的極大值點(diǎn)必在A=B時(shí)取得 由于當(dāng)A=B時(shí)，f`(A)=0，故得不等式。同理，可推廣到關(guān)于n個(gè)變元的情形。ABC1sinsin163。2228ABC11證明：由標(biāo)準(zhǔn)化定理得，當(dāng)A=B=C時(shí)，sin=sin=sin=，取最大值，故22228ABC1sinsinsin163。2228例1設(shè)A，B，C為三角形的三內(nèi)角，求證：sin1等式法應(yīng)用一些等式的結(jié)論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明。例13（1956年波蘭數(shù)學(xué)競賽題）、a,b,c為DABC的三邊長，求證：2a2b2+2a2c2+2b2c2a4+b4+c4。證明：由海倫公式SDABC=其中p=(a+b+c)。2兩邊平方，移項(xiàng)整理得p(pa)(pb)(pc)，16(SDABC)2=2a2b2+2a2c2+2b2c2a4b4c4 而SDABC0，所以2a2b2+2a2c2+2b2c2a4+b4+c4。1函數(shù)極值法通過變換，把某些問題歸納為求函數(shù)的極值，達(dá)到證明不等式的目的。例1設(shè)x206。R，求證：4163。cos2x+3sinx163。2。83246。1230。證明：f(x)=cos2x+3sinx=12sin2x+3sinx=2231。sinx247。+24248。8232。當(dāng)sinx=31時(shí)，f(x)取最大值2； 48當(dāng)sinx=1時(shí)，f(x)取最小值－4。故4163。cos2x+3sinx163。2。81單調(diào)函數(shù)法當(dāng)x屬于某區(qū)間，有f`(x)179。0，則f(x)單調(diào)上升；若f`(x)163。0，則f(x)單調(diào)下降。推廣之，若證f(x)163。g(x)，只須證f(a)=g(a)及f`(x)163。g`(x)即可，x206。[a,b]。例10x，求證：sinxxtanx。2證明：當(dāng)x=0時(shí)，sinx=x=tanx=0，而p(sinx)`=cosx1=x`sec2x=(tanx)` 故得sinxxtanx。1中值定理法利用中值定理：f(x)是在區(qū)間[a,b]上有定義的連續(xù)函數(shù)，且可導(dǎo)，則存在x，axb，滿足f(b)f(a)=f`(x)(ba)來證明某些不等式，達(dá)到簡便的目的。例1求證：sinxsiny163。xy。證明：設(shè)f(x)=sinx，則sinxsiny=(xy)sin`x=(xy)cosx 故sinxsiny163。(xy)cosx163。xy。1分解法按照一定的法則，把一個(gè)數(shù)或式分解為幾個(gè)數(shù)或式，使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單易解的基本問題，以便分而治之，各個(gè)擊破，從而達(dá)到證明不等式的目的。1例1n179。2，且n206。N，求證：1+
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