【正文】 ??? ??? )13)(1( 24)2(3 24)1)(13( 2421 nn nnn nnn n ? ? ? 1)12( )12()12( 1)1()12( 1)12( 112 22222222 ???????????? ????????????? nnnnnnnnn ? 另一方面 : 212211213 12111 ????????????? nnnnnnn ? 十 、 二項(xiàng)放縮 nnnnnn CCC ?????? ?10)11(2 , 12 10 ???? nCC nnn , 2 22 2210 ?????? nnCCC nnnn )2)(1(2 ??? nnnn 例 44. 已知11 2 111, (1 ) .2nnna a ann?? ? ? ??證明 2nae? 解析 : ??????? )1( 1))1( 11(1 nnanna nn ??????? )1)()1( 11(11 nn anna .)1( 1))1( 11l n()1l n()1l n( 1 ????????? nnnnaa nn 111)1l n()1l n()1( 1)]1l n()1l n([ 212112 ????????????? ?? ????? naaiiaa nniiini ， 即 .133ln1)1ln ( 2eeaa nn ??????? 例 nn na )11(??，求證：數(shù)列 }{na 單調(diào)遞增且 .4?na 解析 : 引入一個(gè)結(jié)論：若 0??ab 則 )()1(11 abbnab nnn ???? ?? （證略） 整理上式得 ].)1[(1 nbanba nn ???? （ ? ） 以nbna 11,111 ?????代入（ ? ）式得 ??? ?1)111( nn .)11( nn? 即 }{na 單調(diào)遞增。 例 a+b=1,a0,b0,求證： .12 nnn ba ??? 解析 : 因?yàn)?a+b=1,a0,b0,可認(rèn)為 ba ,21,成等差數(shù)列，設(shè) dbda ????21,21， 從而nnnnn ddba ???????? ???????? ??? 122121 例 Nnn ?? ,1 ，求證)2)(1( 8)32( ??? nnn. 解析 : 觀察n)32(的結(jié)構(gòu)，注意到nn )211()23( ??，展開得 8 6)2)(1(8 )1(212121211)211( 33221 ????????????????? nnnnnCCC nnnn ?， 即8 )2)(1()211( ???? nnn，得證 . 例 :nnn 2ln)211ln(2ln3ln ????. 解析 :參見上面的方法 ,希望讀者自己嘗試 !) 例 42.(20xx年北京海淀 5月練習(xí) ) 已知函數(shù) **( ), ,y f x x y? ? ?NN，滿足： ① 對(duì)任意 *,a b a b??N ，都有 )()()()( abfbafbbfaaf ??? ； ② 對(duì)任意 *n?N 都有 [ ( )] 3f f n n? . （ I）試證明： )(xf 為 *N 上的單調(diào)增函數(shù)； （ II）求 )28()6()1( fff ?? ； （ III）令 *(3 ),nna f n??N，試證明： .121 1 1 14 2 4nnn a a a? ? ? ?? ≤ 解析 :本題的亮點(diǎn)很多 ,是一道考查能力的好題 . (1)運(yùn)用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性 : 因?yàn)?)()()()( abfbafbbfaaf ??? ,所以可以得到 0)()()()( ???? bfbaafba , 也就是 0))()()(( ??? bfafba ,不妨設(shè) ba? ,所以 ,可以得到 )()( bfaf ? ,也就是說 )(xf 為 *N 上的單調(diào)增函數(shù) . (2)此問的難度較大 ,要完全解決出來需要一定的能力 ! 首先我們發(fā)現(xiàn)條件不是很足 ,嘗試探索看看按 (1)中的不等式可以不可以得到什么結(jié)論 ,一發(fā)現(xiàn)就有思路了 ! 由 (1)可知 0))()()(( ??? bfafba ,令 )1(,1 fab ?? ,則可以得到 0))1())1(()(1)(( ??? fffxf ,又 3))1(( ?ff ,所以由不等式可以得到 3)1(1 ??f ,又 *)1( Nf ? ,所以可以得到 2)1( ?f ① 接下來要運(yùn)用迭代的思想 : 因?yàn)?2)1( ?f ,所以 3)]1([)2( ?? fff , 6)]2([)( ?? fff , 9)]3([)( ?? fff ② 18)]6([)9( ?? fff , 27)]9([)( ?? fff , 54)]18([)27( ?? fff , 81)]27([)54( ?? fff 在此比較有技巧的方法就是 : 2754275481 ???? ,所以可以判斷 55)28( ?f ③ 當(dāng)然 ,在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論 ,所以還可以列項(xiàng)的方法 ,把所有項(xiàng)數(shù)盡可能地列出來 ,然后 就可以得到結(jié)論 . 所以 ,綜合①②③有 )28()6()1( fff ?? = 662955 ??? (3)在解決 }{na 的通項(xiàng)公式時(shí)也會(huì)遇到困難 . nnnnnnn aafffffff 3),3(3)]}3([{)3(,3)]3([ 111 ????? ??? , 所以數(shù)列 *(3 ),nna f n??N的方程為 nna 32?? , 從而)311(41111 21 nnaaa ????? ? , 一方面41)311(41 ?? n,另一方面 1222)21(3 1100 ???????? nCC nnnn 所以2412 241)12 11(41)311(41 ????????? n nn nnn,所以 ,綜上有 121 1 1 14 2 4nnn a a a? ? ? ?? ≤ . 例 49. 已知函數(shù) f?x?的定義域?yàn)?[0,1]，且滿足下列條件： ① 對(duì)于任意 x? [0,1]，總有 ? ? 3fx? ，且 ??14f ? ； ② 若 1 2 1 20, 0, 1,x x x x? ? ? ?則 有 ? ? ? ?1 2 1 2( ) x x f x f x? ? ? ? （ Ⅰ ）求 f?0?的值； （ Ⅱ ）求證： f?x?≤4； （ Ⅲ ）當(dāng)111( , ]( 1,2,3, )33nnxn?? ? ???時(shí)，試證明： ( ) 3 3f x x??. 解析 : （ Ⅰ ）解：令 120xx??， 由 ① 對(duì)于任意 x? [0,1]，總有 ? ? 3fx? ， ∴ (0) 3f ? 又由 ② 得 (0) 2 (0) 3,ff??即 (0) 3。 注： ① 上述不等式可加強(qiáng)為 .3)11(2 ???nn簡證如下： 利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放 縮： .1111)11(221 nnnnnnn nCnCnCna ????????? ? 只取前兩項(xiàng)有 .2111 ???? nCa nn對(duì)通項(xiàng)作如下放縮： .2 1221 1!111!11 1???????????? kkkn knknnnnnknC ?? 故有 .32/11 )2/1(12122 1212111 112 ???????????? ?? nnna ? ② 上述數(shù)列 }{na 的極限存在，為無理數(shù) e ；同時(shí)是下述試題的背景： 已知 nmi , 是正整數(shù)，且 .1 nmi ??? （ 1）證明 iniimi AmAn ? ；（ 2）證明 .)1()1( mn nm ??? （ 01 年全國卷理科第 20 題） 簡析 對(duì)第（ 2）問：用 n/1 代替 n 得數(shù)列 nnn nbb 1)1(:}{ ??是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列 })1{( 1nn? 遞減，且 ,1 nmi ??? 故 ,)1()1( 11 nm nm ??? 即 mn nm )1()1( ??? 。11ln,1lnln,0lnlnln1,0)(lnlnln1)lnl o g()(),lnl o g)lnl o g,()(,lnl o g,0)(lnl o g1,ln1,1ln,0)(,1ln)()1(?????????????????????????????????的取值范圍是則即若所以上遞增；上遞減，在（在所以有同理：又即：由 所以不等式成立。 nfnS n ??? eaaaaaxxxeaaeaaaaxfaaafxfaaxfaxxfaxaaaaaxfaaxf1m i nm i n39。f’(xn)≥2n(2n－ 2). 解 析 : 由已知得 )0(22)( ???? xxxxf， (1)當(dāng) n=1 時(shí)，左式 = 22(2 ) (2 ) 0xxxx? ? ? ?右式 =0.∴ 不等式成立 . (2) 2n? , 左式 = )22(2)22()(2)]([ 11nnnnnnn xxxxxfxf ????????? ?? ).11(221424221 ?????? ????? nnnnnnnnnnn xCxCxCxC ? 令1 2 2 4 2 14211n n n nn n n nnnS C x C x C Cxx? ? ? ???? ? ? ? ? 由倒序相加法得： )1()1()1(2221442221 ??????? ??????? nnnnnnnnnn xxCxxCxxCS ? )22(2)(2 121 ?????? ? nnnnn CCC ?， 所以 ).22( ?? nS 所以 .)22(2)(2)]([ 1 成立?????? ? nnnnn xfxf 綜上，當(dāng) k 是奇數(shù)， Nn ?? 時(shí)，命題成立 例 41. （ 20xx年東北三校 ） 已知函數(shù) )1()( ??? axaxf x （ 1）求函數(shù) )(xf 的最小值，并求最小值小于 0 時(shí)的 a 取值范圍； （ 2）令 )1()2()1()( 39。 八 、 線性規(guī)劃型放縮 例 31. 設(shè)函數(shù)221() 2xfxx ?? ?.若對(duì)一切 xR? ， 3 ( ) 3af x b? ? ? ?，求 ab? 的最大值。 (2)證明有 ??Nn0 ，使得對(duì) 0nn?? 都有nnnn bbbbbbbb 112312 ?? ???? ? 20xx?n . 解析 :(1) 依題設(shè)有： ? ? ? ?10 , , , 2 , 0n n n n nA B b b bn?? ?????，由 1nOBn?得： 2*22112 , 1 1,n n nb b b n Nnn? ? ? ? ? ? ?,又直線 nnAB在 x 軸上的截距為 na 滿足 ? ? ? ?110 2 0 0n n na b bnn? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 12nn nba nb? ? 2 2 2 212 1 0 , 2n n n nn b n b b nb? ? ? ? ? ? ?2212 12 2 2 41212 nnnn n nnnnnb n bba b bn b n bn b n b?? ? ? ? ? ? ? ? ???22111 1 2 2 1na nn? ? ? ? ? ? ? 顯然， 對(duì)于 1101nn???，有 *1 4,nna a n N?? ? ? (2)證明：設(shè)*11,nn nbc n Nb?? ? ?，則 ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?22222222222 2 22211 111111 111 1 111 1 1 111 112 1 2 1 1 1 2 121 1 2 12 1 2 1nn n nn nnn nn n nnn n nnn? ? ? ?????? ? ??????? ? ? ? ?????? ??? ? ?? ? ? ???? ? ????? ? ? ? ? ? ? 2 *12 1 2 2 1 0 , ,2nn n n n c n Nn? ? ? ? ? ? ? ? ?? 設(shè) *12 ,nnS c c c n N? ? ? ? ?，則當(dāng) ? ?*2 2 1kn k N? ? ? ?時(shí)