利用放縮法證明數(shù)列型不等式壓軸題-wenkub
2023-04-08 12:45:05 本頁面
【正文】 裂成某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差，在求和時(shí)消去中間的項(xiàng)。處理數(shù)列型不等式最重要要的方法為放縮法。放縮法的本質(zhì)是基于最初等的四則運(yùn)算，利用不等式的傳遞性，其優(yōu)點(diǎn)是能迅速地化繁為簡，化難為易，達(dá)到事半功倍的效果；其難點(diǎn)是變形靈活，技巧性強(qiáng)，放縮尺度很難把握。例1設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和。例2 已知數(shù)列和滿足，數(shù)列的前和為，；（I）求證：；（II）求證：當(dāng)時(shí)。用于解決積式問題?？梢钥闯墒侨齻€(gè)假分式的乘積，保持其中一項(xiàng)不變，另兩項(xiàng)假分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)加1，加2，則積變小，而通項(xiàng)式為的數(shù)列在迭乘時(shí)剛好相消，從而達(dá)到目標(biāo)。當(dāng)時(shí)，易知 點(diǎn)評：此題將目標(biāo)式進(jìn)行放縮得到遞推不等關(guān)系，進(jìn)行迭代，找到解題途徑。二項(xiàng)式定理放縮法：在證明與指數(shù)有關(guān)的數(shù)列型不等式時(shí)，用二項(xiàng)式定理放縮特別有效。例7設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對任意的，都有.(I)求的值；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）證明：。例8在單調(diào)遞增數(shù)列中，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，．（I）分別計(jì)算，和，的值；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（將用表示）；（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：，． 略解：（I）（II）得，． 證明：（III）由（II），得．顯然，； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為奇數(shù)（）時(shí)，.綜上所述，即，． 點(diǎn)評： 此題在作差比較中實(shí)施裂項(xiàng)放縮，進(jìn)而得到最后結(jié)果小于0，從而得證。
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