利用放縮法證明數(shù)列型不等式壓軸題(已修改)
2025-04-05 12:45 本頁面
【正文】 利用放縮法證明數(shù)列型不等式壓軸題 摘要：縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)卷，壓軸題很多是數(shù)列型不等式，其中通常需要證明數(shù)列型不等式，它不但可以考查證明不等式和數(shù)列的各種方法，而且還可以綜合考查其它多種數(shù)學(xué)思想方法，充分體現(xiàn)了能力立意的高考命題原則。處理數(shù)列型不等式最重要要的方法為放縮法。放縮法的本質(zhì)是基于最初等的四則運(yùn)算，利用不等式的傳遞性，其優(yōu)點(diǎn)是能迅速地化繁為簡，化難為易，達(dá)到事半功倍的效果；其難點(diǎn)是變形靈活，技巧性強(qiáng)，放縮尺度很難把握。對(duì)大部分學(xué)生來說，在面對(duì)這類考題時(shí)，往往無從下筆．本文以數(shù)列型不等式壓軸題的證明為例，探究放縮法在其中的應(yīng)用，希望能拋磚引玉，給在黑暗是摸索的學(xué)生帶來一盞明燈。關(guān)鍵詞：放縮法、不等式、數(shù)列、數(shù)列型不等式、壓軸題主體：一、常用的放縮法在數(shù)列型不等式證明中的應(yīng)用裂項(xiàng)放縮法：放縮法與裂項(xiàng)求和的結(jié)合，用放縮法構(gòu)造裂項(xiàng)求和，用于解決和式問題。裂項(xiàng)放縮法主要有兩種類型：（1）先放縮通項(xiàng)，然后將其裂成某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差，在求和時(shí)消去中間的項(xiàng)。例1設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和。設(shè)，證明：。證明：易得， =點(diǎn)評(píng)： 此題的關(guān)鍵是將裂項(xiàng)成，然后再求和，即可達(dá)到目標(biāo)。（2）先放縮通項(xiàng)，然后將其裂成項(xiàng)之和，然后再結(jié)合其余條件進(jìn)行二次放縮。例2 已知數(shù)列和滿足，數(shù)列的前和為，；（I）求證：；（II）求證：當(dāng)時(shí)。證明：（I）∴．（II）由（I）可知遞增，從而，又，即當(dāng)時(shí)。點(diǎn)評(píng)：此題（II）
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