【正文】 第一篇：淺談?dòng)梅趴s法證明不等式的方法與技巧淺談?dòng)梅趴s法證明不等式的方法與技巧分類：學(xué)法指導(dǎo)放縮法：為放寬或縮小不等式的范圍的方法。常用在多項(xiàng)式中“舍掉一些正（負(fù)）項(xiàng)”而使不等式各項(xiàng)之和變?。ù螅?，或“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較?。┮蚴酱妗钡刃Х?，而達(dá)到其證題目的。所謂放縮的技巧：即欲證做“放”，由B到C叫做“縮”。常用的放縮技巧還有：（1）若（2），欲尋找一個(gè)（或多個(gè)）中間變量C，使，由A到C叫（3）若則（4）（5）（6）或（7）等。用放縮法證明下列各題。例1 求證： 等證明：因?yàn)樗宰筮呉驗(yàn)?9＜100（放大）＜所以例2（2000年海南理11）若證明：因?yàn)?求證：因?yàn)?所以［因?yàn)榇螅?，所以又所以是增函?shù)］，所以（放，所以例3（2001年云南理1）求證：證明：（因?yàn)椋塾忠驗(yàn)槔? 已知證明：因?yàn)榍笞C：（放大）］，所以所以例5 求證：證明：因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋ǚ糯螅┧岳?（2000年湖南省會(huì)考）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是證明：因?yàn)樵瘮?shù)配方得又因?yàn)樗裕s?。?，所以函數(shù)y的最小值是。當(dāng)所以（放大），所以函數(shù)y的最大值是例7 求證：證明：因?yàn)榱?。?（2002年貴州省理21）若證明：因?yàn)樗宰C（當(dāng)且僅當(dāng)（分母有理化）所以原不等式成求證：而所以同理可時(shí)，取等號(hào)）。例9 已知a、b、c分別是一個(gè)三角形的三邊之長，求證：證明：不妨設(shè)據(jù)三角形三邊關(guān)系定理有：便得所以原不等式成立。例10（1999年湖南省理16）求證：證明：因?yàn)橛炙栽坏仁匠闪?。?1 求證：證明：因?yàn)樽筮呑C畢。例12 求證證明：因?yàn)樽ⅲ悍趴s法的理論依據(jù)，是不等式的傳遞性，即若所以左邊則。使用放縮法時(shí)，“放”、“縮”都不要過頭。放縮法是一種技巧性較強(qiáng)的不等變形，一般用于兩邊差別較大的不等式。常用的有“添舍放縮”和“分式放縮”，都是用于不等式證明中局部放縮。第二篇：用放縮法證明不等式用放縮法證明不等式蔣文利飛翔的青蛙所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來證明不等式，也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟。下面舉例談?wù)勥\(yùn)用放縮法證題的常見題型。一.“添舍”放縮通過對不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。，b為不相等的兩正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證1＜a＋b＜4。3證明：由題設(shè)得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜、b、c不全為零，求證：a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ac+a2＞3（a+b+c）21422132（a＋b），即（a4444，故有1＜a＋b＜。33證明：因?yàn)閍2+ab+b2=同理b2+bc+c2＞b+c，2（a+b23）+b2＞42（a+b2）2=a+bb≥a+，22c2+ac+a2＞c+a。23（a+b+c）2所以a2+ab+b2+ b2+bc+c2+c2+ac+a2＞一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。、b、c為三角形的三邊，求證：1＜abc＋＋＜2。b+ca+ca+b證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以baab＞＞，b+ca+b+ca+ca+b+ccc＞a+ba+b+c，所以abcabc＋＋＞＋＋＝1，又a，b，c為三角形的b+ca+ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋ca+b邊，故b+c＞a，則c2c，＜a+ba+b+ca2a2b為真分?jǐn)?shù)，則a＜，同理b＜，b+ca+b+ca+ca+b+cb+c故abc2a2b2c＋＋＜＋＋=+ca+ca+b+ca+b+ca+b+ca+babc＋＋＜2。b+ca+ca+b綜合得1＜若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來解題?！蔔*，求1+1n?+1n2n+n++?+1n＜2n。證明：因?yàn)?＜n+n13=2（nn1），則1+++＜1+2（21）+2（2）+?+2（nn1）=2n1＜2n，證畢。例n(n+1)25.an已知(n+1)2n206。N*且an=180。2+2180。3+L+n(n+1)，求證：對所有正整數(shù)n都成立。n證明：因?yàn)閚(n+1)又n(n+1)1+22=n，所以an1+2+L+n=n(n+1)，n(n+1)+2+32，n(n+1)2n+12(n+1)所以an立。+L+=++L+=，利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。(x)=證明：由題意知f(n)nn+1=212+1nn212+1xx，證明：對于n206。N*且n179。3都有f(n)nn+1。nn+1=(122+1n)(11n+1)=1n+122+1n=2(2n+1)(n+1)(2+1)nn又因?yàn)閚206。N*且n179。3，所以只須證2n2n+1，又因?yàn)?，n=(1+1)n=Cn+Cn+Cn+L+Cnn1+Cnn=1+n+n(n1)+L+n+12n+1所以f(n)nn+1。(x)=+x2，求證：當(dāng)a185。b時(shí)f（a）f（b）ab。證f（a）f（b）=1+a2+b2=明a2b2+a：++b=a+bab+ab2+1+a+baba+b(a+b)aba+b=ab證畢。對于不等式的某個(gè)部分進(jìn)行換元，可顯露問題的本質(zhì)，然后隨機(jī)進(jìn)行放縮，可達(dá)解題目的。bc，求證1ab+1bc+1ca0。證明：因?yàn)閍bc，所以可設(shè)a=c+t，b=c+u(tu0)，所以tu0則1ab+1bc+1ca=1tu+1u1t1u1t=tutu0，即1ab+1bc+1ca0。，b，c為△ABC的三條邊，且有a2+b2=c2，當(dāng)n206。N*且n179。3時(shí)，求證：an+bn。證明：由于a2+b2=c2，可設(shè)a=csina，b=ccosa（a為銳角），因?yàn)?sina1，0cosa1，則當(dāng)n179。3時(shí)，sinnasin2a，cosnacos2a，所以an+bn=(sinna+cosna)(sin2a+cos2a)=。根據(jù)題目特征，通過構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。，b∈R，求證x1+xa+b1+a+b163。a1+a+b1+b。證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=f(x1)f(x2)=x11+x1(x179。0)，首先判斷其單調(diào)性，設(shè)0163。x1x2，因?yàn)閤21+x2=x1x2(1+x1)(1+x2)0，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在[0,+165。]上是增函數(shù)，取x1=a+b，x2=a+b，顯然滿足0163。x1163。x2，所以f(a+b)163。f(|a|+|b|)，即|a+b|1+|a+b|163。|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|163。|a|1+|a|+|b