【正文】 第一篇：淺談用放縮法證明不等式的方法與技巧淺談用放縮法證明不等式的方法與技巧分類：學法指導放縮法：為放寬或縮小不等式的范圍的方法。常用在多項式中“舍掉一些正（負）項”而使不等式各項之和變小（大），或“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較小）因式代替”等效法，而達到其證題目的。所謂放縮的技巧：即欲證做“放”，由B到C叫做“縮”。常用的放縮技巧還有：（1）若（2），欲尋找一個（或多個）中間變量C，使，由A到C叫（3）若則（4）（5）（6）或（7）等。用放縮法證明下列各題。例1 求證： 等證明：因為所以左邊因為99＜100（放大）＜所以例2（2000年海南理11）若證明：因為 求證：因為 所以［因為大），所以又所以是增函數(shù)］，所以（放，所以例3（2001年云南理1）求證：證明：（因為）［又因為例4 已知證明：因為求證：（放大）］，所以所以例5 求證：證明：因為（因為）（放大）所以例6（2000年湖南省會考）求證：當時，函數(shù)的最小值是當時，函數(shù)的最大值是證明：因為原函數(shù)配方得又因為所以（縮?。?，所以函數(shù)y的最小值是。當所以（放大），所以函數(shù)y的最大值是例7 求證：證明：因為立。例8（2002年貴州省理21）若證明：因為所以證（當且僅當（分母有理化）所以原不等式成求證：而所以同理可時，取等號）。例9 已知a、b、c分別是一個三角形的三邊之長，求證：證明：不妨設據(jù)三角形三邊關系定理有：便得所以原不等式成立。例10（1999年湖南省理16）求證：證明：因為又所以原不等式成立。例11 求證：證明：因為左邊證畢。例12 求證證明：因為注：放縮法的理論依據(jù)，是不等式的傳遞性，即若所以左邊則。使用放縮法時，“放”、“縮”都不要過頭。放縮法是一種技巧性較強的不等變形，一般用于兩邊差別較大的不等式。常用的有“添舍放縮”和“分式放縮”，都是用于不等式證明中局部放縮。第二篇：用放縮法證明不等式用放縮法證明不等式蔣文利飛翔的青蛙所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標進行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟。下面舉例談談運用放縮法證題的常見題型。一.“添舍”放縮通過對不等式的一邊進行添項或減項以達到解題目的，這是常規(guī)思路。，b為不相等的兩正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證1＜a＋b＜4。3證明：由題設得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜、b、c不全為零，求證：a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ac+a2＞3（a+b+c）21422132（a＋b），即（a4444，故有1＜a＋b＜。33證明：因為a2+ab+b2=同理b2+bc+c2＞b+c，2（a+b23）+b2＞42（a+b2）2=a+bb≥a+，22c2+ac+a2＞c+a。23（a+b+c）2所以a2+ab+b2+ b2+bc+c2+c2+ac+a2＞一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達到證題目的。、b、c為三角形的三邊，求證：1＜abc＋＋＜2。b+ca+ca+b證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以baab＞＞，b+ca+b+ca+ca+b+ccc＞a+ba+b+c，所以abcabc＋＋＞＋＋＝1，又a，b，c為三角形的b+ca+ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋ca+b邊，故b+c＞a，則c2c，＜a+ba+b+ca2a2b為真分數(shù)，則a＜，同理b＜，b+ca+b+ca+ca+b+cb+c故abc2a2b2c＋＋＜＋＋=+ca+ca+b+ca+b+ca+b+ca+babc＋＋＜2。b+ca+ca+b綜合得1＜若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關的n項和，可采用數(shù)列中裂項求和等方法來解題?！蔔*，求1+1n?+1n2n+n++?+1n＜2n。證明：因為=＜n+n13=2（nn1），則1+++＜1+2（21）+2（2）+?+2（nn1）=2n1＜2n，證畢。例n(n+1)25.an已知(n+1)2n206。N*且an=180。2+2180。3+L+n(n+1)，求證：對所有正整數(shù)n都成立。n證明：因為n(n+1)又n(n+1)1+22=n，所以an1+2+L+n=n(n+1)，n(n+1)+2+32，n(n+1)2n+12(n+1)所以an立。+L+=++L+=，利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。(x)=證明：由題意知f(n)nn+1=212+1nn212+1xx，證明：對于n206。N*且n179。3都有f(n)nn+1。nn+1=(122+1n)(11n+1)=1n+122+1n=2(2n+1)(n+1)(2+1)nn又因為n206。N*且n179。3，所以只須證2n2n+1，又因為，n=(1+1)n=Cn+Cn+Cn+L+Cnn1+Cnn=1+n+n(n1)+L+n+12n+1所以f(n)nn+1。(x)=+x2，求證：當a185。b時f（a）f（b）ab。證f（a）f（b）=1+a2+b2=明a2b2+a：++b=a+bab+ab2+1+a+baba+b(a+b)aba+b=ab證畢。對于不等式的某個部分進行換元，可顯露問題的本質(zhì)，然后隨機進行放縮，可達解題目的。bc，求證1ab+1bc+1ca0。證明：因為abc，所以可設a=c+t，b=c+u(tu0)，所以tu0則1ab+1bc+1ca=1tu+1u1t1u1t=tutu0，即1ab+1bc+1ca0。，b，c為△ABC的三條邊，且有a2+b2=c2，當n206。N*且n179。3時，求證：an+bn。證明：由于a2+b2=c2，可設a=csina，b=ccosa（a為銳角），因為0sina1，0cosa1，則當n179。3時，sinnasin2a，cosnacos2a，所以an+bn=(sinna+cosna)(sin2a+cos2a)=。根據(jù)題目特征，通過構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進行放縮求解。，b∈R，求證x1+xa+b1+a+b163。a1+a+b1+b。證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=f(x1)f(x2)=x11+x1(x179。0)，首先判斷其單調(diào)性，設0163。x1x2，因為x21+x2=x1x2(1+x1)(1+x2)0，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在[0,+165。]上是增函數(shù)，取x1=a+b，x2=a+b，顯然滿足0163。x1163。x2，所以f(a+b)163。f(|a|+|b|)，即|a+b|1+|a+b|163。|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|163。|a|1+|a|+|b