【正文】 33a+b23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)。1n+1247。1a2248。1246。1230。23248。21n+12180。+L++1n1n12=1+12 11 數(shù)列不等式的證明在數(shù)列不等式的證明中,我們大量采用放縮法,“疊加”模型的數(shù)列不等式,可以利用放縮法對疊加的數(shù)列進(jìn)行化簡,“疊加”模型指的是形如：a1+a2+L+an163。12,(n179。1++247。1+2+L+n= 而n(n+1)n(n+1)2 ①1+22+2+32+Ln+(n+1)2 \12+23+Ln(n+1)淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 10 = =32+52+L2n+1212+32+52+L2n+12 ②(1+2n+1)(n+1)22=(n+1)①中運(yùn)用了增減放縮法,② 數(shù)列{an}滿足a1=1且an+1=231。1246。111230。12從而可知f(t)在[,1]上遞減,在[1,2]上遞增,故：{f(t)}max=max237。t+n247。a 已知an=1230。p，\sina0,sinb0,cos(a+b)cos(ab)163。=231。nn(n+1)n+(n+1)2 \Sn=1180。,4232。247。247。11163。skill。點(diǎn)評：本題是一道函數(shù)與絕對值不等式綜合題，學(xué)生不能找到解題的突破口，關(guān)鍵在于找到a，b，c與f（0），f（1），f（1）的聯(lián)系，再利用絕對值內(nèi)三角形不等式適當(dāng)放縮。本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力不等式是高考數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，而用放縮法證明不等式學(xué)生更加難以掌握。3時(shí)，sinnasin2a，cosnacos2a，所以an+bn=(sinna+cosna)(sin2a+cos2a)=。(x)=證明：由題意知f(n)nn+1=212+1nn212+1xx，證明：對于n206。一.“添舍”放縮通過對不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。常用在多項(xiàng)式中“舍掉一些正（負(fù)）項(xiàng)”而使不等式各項(xiàng)之和變?。ù螅?，或“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較?。┮蚴酱妗钡刃Х?，而達(dá)到其證題目的。常用的有“添舍放縮”和“分式放縮”，都是用于不等式證明中局部放縮。3+L+n(n+1)，求證：對所有正整數(shù)n都成立。N*且n179。證畢。⒊利用基本不等式［例3］已知f（x）=x+證明：設(shè)（1）+（2）得(x﹥0)求證：－，（1）（2）點(diǎn)評：用數(shù)學(xué)歸納法證明，思路簡單，但是難度很大，可以通過二項(xiàng)式定理展開，倒序法與基本不等式相結(jié)合進(jìn)行放縮。技巧。11+a111+a1, 163。N).*證明：Q1(2k+1)219+125(2k+1)211=14k(k+1)=1230。231。1246。(n+1)n?均值不等式： a1a2Lan163。lg9246。[5] 已知a,b為整數(shù),并且a+b163。R，1a|f(x)f(y)|1219。:令f(t)=1230。(t)0；當(dāng)1t163。2n+即an163。2248。2248。235。n 綜合法對于比較復(fù)雜的不等式證明,(1985年高考題)證明：Qn(n+1)179。246。+lnann2248。1n247。4) +13!+12 則左邊1+23717 =n2412342!+1233+L+123n2 限制放縮的項(xiàng)和次數(shù)若對不等式中的每一項(xiàng)都進(jìn)行放縮,很可能造成放得過大或縮得太小,若限制放縮淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 14 的項(xiàng),保留一些特定項(xiàng)不變,可以通過這樣來調(diào)整放縮的“度”,逼近欲證明的目標(biāo), 求證112+122+L+1n261361n(n179。+L+231。a2248。232。231。n+L+43n+1+434+436=12+1314++1230?！?+a+b=xyz+x3+y3∴x3+y3(x2y+xy2)=x2(xy)+y2(yx)=(xy)2(x+y)≥0 ∴x3+y3≥x2y+xy2∴1+a+b=xyz+x3+y3≥xyz+xy(x+y)=xy(x+y+z)∴1z1=≤xy(x+y+z)x+y+z1+a+byx11≤，≤ ∴+y+zx+y+z1+b+c1+c+a同理：由對稱性可得[評析]：本題運(yùn)用了排序不等式進(jìn)行放縮，后用對稱性。R+，p206。21210例21 求證5證明：由于12+13+1214+L+1215=+1216102=1； +1714+14+14+14=144=1；?? ??1210129+12+19+L+121011119++L+=2=1； 99992442221424443291 由1,將上面的不等式兩邊相加,得到：12+1213=+1214+L+121010又由于；淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 16 +311416+1417++1418=14182=+18+1218；+18=184=12 +51；?? ??12+19+12+29+L+121011 ++L+101010244223142444291 =將上面的不等式兩邊相加,得到：12+13+14+L+12121012102=912；513+1；+L+1210 于是,綜上得到5+4 結(jié)綜上可知,放縮法的技巧千變?nèi)f化,放縮法貫穿于整個(gè)不等式的證明過程中,不等式證明的每一步幾乎都與“放”與“縮”：(1)在放縮過程中不等號的方向必須一致；(2)運(yùn)算時(shí)要注意總結(jié)規(guī)律,有些不等式用特定的放縮方法可以使計(jì)算簡便,而有些不等式可以用很多種方法解決；(3)不等式的放縮法在不等式的證明中應(yīng)用廣泛,但是遇到具體題目時(shí)不能生搬硬套,用放縮法證明不等式關(guān)鍵就是“度”的把握,如果放得過大或太小就會(huì)導(dǎo)致解題失敗,而如果放縮不適當(dāng)要學(xué)會(huì)調(diào)整,一些實(shí)用的技巧可以幫助我們把握放縮中的“度”,而具體怎樣放縮才適度,放縮方法更是多種多樣,要能恰到好處的想到具體解題中的放縮方法,需要積累一定的不等式知識, 17 致謝感謝我的導(dǎo)師，她在我的論文寫作過程中傾注了大量心血，從選題開始到開題報(bào)告，從寫作提綱到一遍遍的指出稿中的具體問題，每一個(gè)工作她都做得那么的細(xì)致認(rèn)真，她的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和工作風(fēng)深深的感動(dòng)著每一個(gè)了解她的人。11246。2232。231。232。4+L1(n1)n=1+ = 由 11211246。、或.例15 已知n179。2+12180。an,(n179。1246。2232。11230。n1233。246。,f(2)253。n230。t1246。1cos(a+b)=sin2a+b2.(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號). 利用一般函數(shù)的性質(zhì) 求證a163。247。(n+1) =32+52+L2n+12 n(n+1)2(n+1)22 又Sn=1180。R,ab(+), 均值不等式例5 若n206。kk+1248。163。3(ab+bc+ca)=333\a+b+c179。點(diǎn)評：有些學(xué)生兩次用錯(cuò)位相減進(jìn)行放縮，但是沒有找到恰當(dāng)?shù)淖冃畏趴s，對利用不等式進(jìn)行放縮不熟悉。放縮法的理論依據(jù)是不等式性質(zhì)的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮、怎樣展開。a1+a+b1+b。nn+1=(122+1n)(11n+1)=1n+122+1n=2(2n+1)(n+1)(2+1)nn又因?yàn)閚206。33證明：因?yàn)閍2+ab+b2=同理b2+bc+c2＞b+c，2（a+b23）+b2＞42（a+b2）2=a+bb≥a+，22c2+ac+a2＞c+a。用放縮法證明下列各題。例12 求證證明：因?yàn)樽ⅲ悍趴s法的理論依據(jù)，是不等式的傳遞性，即若所以左邊則。例n(n+1)25.an已知(n+1)2n206。bc，求證1ab+1bc+1ca0。f(|a|+|b|)，即|a+b|1+|a+b|163。故原不等式成立。第