【正文】 f(n)min=f(1)=12+13+14=1312，淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 8 故對(duì)一切自然數(shù),f(n)179。1cos(a+b)=sin2a+b2.(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)). 利用一般函數(shù)的性質(zhì) 求證a163。1，\1sina2+41sin2b179。sin22a+： Qa0,b0,a+b163。[5] 已知a,b為整數(shù),并且a+b163。1,|cosx|163。2248。2248。248。247。247。247。lg9246。lg8246。lg2+lg4246。R,abn(n+1)2(+)a1+a+b1+bc1+[4] 若正數(shù)a,b,c滿足a+bc,求證：證明：Qa+bc,\a+bc0。3+L+n180。(n+1) =32+52+L2n+12 n(n+1)2(n+1)22 又Sn=1180。2+2180。R+(i=1,2,Ln).淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 6 求證:證明:Qn=n(n+1)2Sn(n+1)180。(n+1)n?均值不等式： a1a2Lan163。2+2180。(n+1)(2n+1)249。235。(n+1)(2n+1)249。R,ab(+), 均值不等式例5 若n206。n+1248。1247。1246。232。232。232。+L+231。+231。231。230。1246。230。230。kk+1248。(k179。231。N).*證明：Q1(2k+1)219+125(2k+1)211=14k(k+1)=1230。N，*,n179。21=111+a11+32 增大（減?。┎坏仁揭贿叺牟糠猪?xiàng)在不等式的證明中,有時(shí)候增大或減小不等式一邊的所有項(xiàng)會(huì)造成放縮過(guò)度,因此, 求證證明：Q122+132+142+L+1n2179。248。1++2+L+n1247。163。12n121+an111+a1，1\11+a1+11+a2+11+a3+L+1+an111246。123，淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 4 ??, 11+an163。11+a111+a1, 163。21+a111，122163。2(1+an)0, \11+an+111163。2,\an+1179。n+2(n=1,2,3,L),求證：11+a1+11+a2+11+a3+L+11+an163。3(ab+bc+ca)=333\a+b+c179。appropriate引 言在證明不等式的過(guò)程中,我們的基本解題思路就是將不等式的一邊通過(guò)若干次適當(dāng)?shù)暮愕茸冃位虿坏茸冃?放大或縮小),根據(jù)等式的傳遞性①和不等式的傳遞性②,不等式的證明最大特色就是在變形過(guò)程中它有“不等的”變形,即對(duì)原式進(jìn)行了“放大”或“縮小”.而這種對(duì)不等式進(jìn)行不等變形,從而使不等式按同一方向變換,方法靈活多變,應(yīng)當(dāng)注意以下兩點(diǎn)：?掌握放縮法的一些常用策略和技巧；?放縮法要放縮得恰到好處, 3 放縮法的常用技巧 增減放縮法 增加（減去）不等式中的一些正（負(fù)）項(xiàng)在不等式的證明中常常用增加（減去）一些正(負(fù))項(xiàng),從而使不等式一邊的各項(xiàng)之和變大(小), 設(shè)a,b,c都是正數(shù),ab+bc+ca=1,求證：a+b+c179。amplification and minification。技巧。關(guān)鍵詞：不等式。對(duì)第3小題的放縮也可裂項(xiàng)法求和進(jìn)行放縮。若用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和放縮就簡(jiǎn)單 ⒏利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)［例8］已知數(shù)列滿足(n∈N*),是的前n項(xiàng)的和，并且．（1）求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（2）證明：≤．（3）求證： 解：(1)由題意得兩式相減得所以再相加所以數(shù)列是等差數(shù)列．又又所以數(shù)列的前項(xiàng)的和為．而≤.（3）證明：點(diǎn)評(píng)：這是一道很有研究?jī)r(jià)值的用放縮法證明不等式的典例。⒍ 利用錯(cuò)位相減法求和相結(jié)合，再利用等比數(shù)列［例6］已知a1, a2, a3, ??, an, ??構(gòu)成一等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn＝n2, 設(shè)bn＝記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明：Tn解：(1)a1＝S1＝1, 當(dāng)n≥2時(shí), an＝Sn－Sn－1＝2n－1。點(diǎn)評(píng)：有些學(xué)生兩次用錯(cuò)位相減進(jìn)行放縮，但是沒(méi)有找到恰當(dāng)?shù)淖冃畏趴s，對(duì)利用不等式進(jìn)行放縮不熟悉。⒌利用不等式和等比數(shù)列求和［例5］求證：。又∵所以∴，∴=7。⒊利用基本不等式［例3］已知f（x）=x+證明：設(shè)（1）+（2）得(x﹥0)求證：－，（1）（2）點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明，思路簡(jiǎn)單，但是難度很大，可以通過(guò)二項(xiàng)式定理展開(kāi)，倒序法與基本不等式相結(jié)合進(jìn)行放縮。點(diǎn)評(píng)：一開(kāi)始學(xué)生就用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嘗試，結(jié)果失敗，就放棄了。即 是單調(diào)增函數(shù)（n=2，3，?），所以。⒉利用函數(shù)的單調(diào)性［例2］ 求證：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，恒有。⒈利用三角形的三邊關(guān)系［例1］ 已知a，b，c是△ABC的三邊，求證：證明：∴﹥。放縮法的理論依據(jù)是不等式性質(zhì)的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮、怎樣展開(kāi)。不等式是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點(diǎn)難點(diǎn)。不等式是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點(diǎn)難點(diǎn)。證畢。|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|163。x2，所以f(a+b)163。]上是增函數(shù)，取x1=a+b，x2=a+b，顯然滿足0163。0)，首先判斷其單調(diào)性，設(shè)0163。a1+a+b1+b。根據(jù)題目特征，通過(guò)構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。證明：由于a2+b2=c2，可設(shè)a=csina，b=ccosa（a為銳角），因?yàn)?sina1，0cosa1，則當(dāng)n179。N*且n179。證明：因?yàn)閍bc，所以可設(shè)a=c+t，b=c+u(tu0)，所以tu0則1ab+1bc+1ca=1tu+1u1t1u1t=tutu0，即1ab+1bc+1ca0。對(duì)于不等式的某個(gè)部分進(jìn)行換元，可顯露問(wèn)題的本質(zhì)，然后隨機(jī)進(jìn)行放縮，可達(dá)解題目的。b時(shí)f（a）f（b）ab。3，所以只須證2n2n+1，又因?yàn)?，n=(1+1)n=Cn+Cn+Cn+L+Cnn1+Cnn=1+n+n(n1)+L+n+12n+1所以f(n)nn+1。nn+1=(122+1n)(11n+1)=1n+122+1n=2(2n+1)(n+1)(2+1)nn又因?yàn)閚206。N*且n179。+L+=++L+=，利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡(jiǎn)解。3+L+n(n+1)，求證：對(duì)所有正整數(shù)n都成立。N*且an=180。證明：因?yàn)?＜n+n13=2（nn1），則1+++＜1+2（21）+2（2）+?+2（nn1）=2n1＜2n，證畢。b+ca+ca+b綜合得1＜若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來(lái)解題。、b、c為三角形的三邊，求證：1＜abc＋＋＜2。33證明：因?yàn)閍2+ab+b2=同理b2+bc+c2＞b+c，2（a+b23）+b2＞42（a+b2）2=a+bb≥a+，22c2+ac+a2＞c+a。，b為不相等的兩正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證1＜a＋b＜4。下面舉例談?wù)勥\(yùn)用放縮法證題的常見(jiàn)題型。常用的有“添舍放縮”和“分式放縮”，都是用于不等式證明中局部放縮。使用放縮法時(shí)，“放”、“縮”都不要過(guò)頭。例11 求證：證明：因?yàn)樽筮呑C畢。例9 已知a、b、c分別是一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，求證：證明：不妨設(shè)據(jù)三角形三邊關(guān)系定理有：便得所以原不等式成立。當(dāng)所以（放大），所以函數(shù)y的最大值是例7 求證：證明：因?yàn)榱?。用放縮法證明下列各題。所謂放縮的技巧：即欲證做“放”，由B到C叫做“縮”