【正文】 3） 將不等式的一邊分組進行放縮???????????????????（14）總結?????????????????????????????????（16）致謝?????????????????????????????????（17）參考文獻???????????????????????????????（18）淺談用放縮法證明不等式 2 淺談用放縮法證明不等式學生： 指導老師：淮南師范學院數(shù)學與計算科學系摘要：本文介紹了放縮法的基本概念, 在此基礎上總結出增減放縮法、公式放縮法、利用函數(shù)的性質放縮和綜合法等用放縮法證明不等式的常用技巧,以及數(shù)列不等式證明中放縮法的應用,。證明：=，利用不等式∴﹤=﹤。故原不等式成立。本難點著重培養(yǎng)考生數(shù)學式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。f(|a|+|b|)，即|a+b|1+|a+b|163。b∈R，求證x1+xa+b1+a+b163。bc，求證1ab+1bc+1ca0。3都有f(n)nn+1。例n(n+1)25.an已知(n+1)2n206。3證明：由題設得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜、b、c不全為零，求證：a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ac+a2＞3（a+b+c）21422132（a＋b），即（a4444，故有1＜a＋b＜。例12 求證證明：因為注：放縮法的理論依據(jù)，是不等式的傳遞性，即若所以左邊則。常用的放縮技巧還有：（1）若（2），欲尋找一個（或多個）中間變量C，使，由A到C叫（3）若則（4）（5）（6）或（7）等。用放縮法證明下列各題。使用放縮法時，“放”、“縮”都不要過頭。33證明：因為a2+ab+b2=同理b2+bc+c2＞b+c，2（a+b23）+b2＞42（a+b2）2=a+bb≥a+，22c2+ac+a2＞c+a。N*且an=180。nn+1=(122+1n)(11n+1)=1n+122+1n=2(2n+1)(n+1)(2+1)nn又因為n206。證明：因為abc，所以可設a=c+t，b=c+u(tu0)，所以tu0則1ab+1bc+1ca=1tu+1u1t1u1t=tutu0，即1ab+1bc+1ca0。a1+a+b1+b。|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|163。放縮法的理論依據(jù)是不等式性質的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮、怎樣展開。點評：一開始學生就用數(shù)學歸納法進行嘗試，結果失敗，就放棄了。點評：有些學生兩次用錯位相減進行放縮，但是沒有找到恰當?shù)淖冃畏趴s，對利用不等式進行放縮不熟悉。關鍵詞：不等式。3(ab+bc+ca)=333\a+b+c179。21+a111，122163。163。N，*,n179。kk+1248。230。R,ab(+), 均值不等式例5 若n206。2+2180。(n+1) =32+52+L2n+12 n(n+1)2(n+1)22 又Sn=1180。lg8246。247。1,|cosx|163。1cos(a+b)=sin2a+b2.(當且僅當a=b時取等號). 利用一般函數(shù)的性質 求證a163。f(x)f(y)163。t1246。231。n230。(t)=0,得t= 9 1 當2163。,f(2)253。252。246。2234。n1233。2235。11230。2248。2232。232。1246。230。an,(n179。1n+n1n+n1n+n222+1246。2+12180。1246。、或.例15 已知n179。N).例18 求證(Ⅰ)+1!112!+L+證明：(Ⅰ)1n!=1n(n1)(n2)L2112n1122L21=(n179。4+L1(n1)n=1+ = 由 11211246。+231。232。+231。231。aa4248。2232。247。11246。3248。21210例21 求證5證明：由于12+13+1214+L+1215=+1216102=1； +1714+14+14+14=144=1；?? ??1210129+12+19+L+121011119++L+=2=1； 99992442221424443291 由1,將上面的不等式兩邊相加,得到：12+1213=+1214+L+121010又由于；淺談用放縮法證明不等式 16 +311416+1417++1418=14182=+18+1218；+18=184=12 +51；?? ??12+19+12+29+L+121011 ++L+101010244223142444291 =將上面的不等式兩邊相加,得到：12+13+14+L+12121012102=912；513+1；+L+1210 于是,綜上得到5+4 結綜上可知,放縮法的技巧千變萬化,放縮法貫穿于整個不等式的證明過程中,不等式證明的每一步幾乎都與“放”與“縮”：(1)在放縮過程中不等號的方向必須一致；(2)運算時要注意總結規(guī)律,有些不等式用特定的放縮方法可以使計算簡便,而有些不等式可以用很多種方法解決；(3)不等式的放縮法在不等式的證明中應用廣泛,但是遇到具體題目時不能生搬硬套,用放縮法證明不等式關鍵就是“度”的把握,如果放得過大或太小就會導致解題失敗,而如果放縮不適當要學會調整,一些實用的技巧可以幫助我們把握放縮中的“度”,而具體怎樣放縮才適度,放縮方法更是多種多樣,要能恰到好處的想到具體解題中的放縮方法,需要積累一定的不等式知識, 17 致謝感謝我的導師，她在我的論文寫作過程中傾注了大量心血，從選題開始到開題報告，從寫作提綱到一遍遍的指出稿中的具體問題，每一個工作她都做得那么的細致認真，她的嚴謹?shù)膽B(tài)度和工作風深深的感動著每一個了解她的人。R+且abc=1求證111≤1 =+1+a+b1+b+c1+c+a證明：設a=x3,b=y3,c= x、y、z206。R+，p206。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A?！?+a+b=xyz+x3+y3∴x3+y3(x2y+xy2)=x2(xy)+y2(yx)=(xy)2(x+y)≥0 ∴x3+y3≥x2y+xy2∴1+a+b=xyz+x3+y3≥xyz+xy(x+y)=xy(x+y+z)∴1z1=≤xy(x+y+z)x+y+z1+a+byx11≤，≤ ∴+y+zx+y+z1+b+c1+c+a同理：由對稱性可得[評析]：本題運用了排序不等式進行放縮，后用對稱性?，F(xiàn)例析如下，供大家討論。n+L+43n+1+434+436=12+1314++1230。247。231。21an+11a2當n為奇數(shù)時,因為1a11a21an1a10,則：++L++L1an+1an+1246。232。+L+231。a2248。1n74741n：112+122+L+1n2+122+132+13180。+L+231。11246。4) +13!+12 則左邊1+23717 =n2412342!+1233+L+123n2 限制放縮的項和次數(shù)若對不等式中的每一項都進行放縮,很可能造成放得過大或縮得太小,若限制放縮淺談用放縮法證明不等式 14 的項,保留一些特定項不變,可以通過這樣來調整放縮的“度”,逼近欲證明的目標, 求證112+122+L+1n261361n(n179。N,證明