【正文】 3） 將不等式的一邊分組進(jìn)行放縮???????????????????（14）總結(jié)?????????????????????????????????（16）致謝?????????????????????????????????（17）參考文獻(xiàn)???????????????????????????????（18）淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 2 淺談?dòng)梅趴s法證明不等式學(xué)生： 指導(dǎo)老師：淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系摘要：本文介紹了放縮法的基本概念, 在此基礎(chǔ)上總結(jié)出增減放縮法、公式放縮法、利用函數(shù)的性質(zhì)放縮和綜合法等用放縮法證明不等式的常用技巧,以及數(shù)列不等式證明中放縮法的應(yīng)用,。證明：=，利用不等式∴﹤=﹤。故原不等式成立。本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。f(|a|+|b|)，即|a+b|1+|a+b|163。b∈R，求證x1+xa+b1+a+b163。bc，求證1ab+1bc+1ca0。3都有f(n)nn+1。例n(n+1)25.an已知(n+1)2n206。3證明：由題設(shè)得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜、b、c不全為零，求證：a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ac+a2＞3（a+b+c）21422132（a＋b），即（a4444，故有1＜a＋b＜。例12 求證證明：因?yàn)樽ⅲ悍趴s法的理論依據(jù)，是不等式的傳遞性，即若所以左邊則。常用的放縮技巧還有：（1）若（2），欲尋找一個(gè)（或多個(gè)）中間變量C，使，由A到C叫（3）若則（4）（5）（6）或（7）等。用放縮法證明下列各題。使用放縮法時(shí)，“放”、“縮”都不要過(guò)頭。33證明：因?yàn)閍2+ab+b2=同理b2+bc+c2＞b+c，2（a+b23）+b2＞42（a+b2）2=a+bb≥a+，22c2+ac+a2＞c+a。N*且an=180。nn+1=(122+1n)(11n+1)=1n+122+1n=2(2n+1)(n+1)(2+1)nn又因?yàn)閚206。證明：因?yàn)閍bc，所以可設(shè)a=c+t，b=c+u(tu0)，所以tu0則1ab+1bc+1ca=1tu+1u1t1u1t=tutu0，即1ab+1bc+1ca0。a1+a+b1+b。|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|163。放縮法的理論依據(jù)是不等式性質(zhì)的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮、怎樣展開(kāi)。點(diǎn)評(píng)：一開(kāi)始學(xué)生就用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嘗試，結(jié)果失敗，就放棄了。點(diǎn)評(píng)：有些學(xué)生兩次用錯(cuò)位相減進(jìn)行放縮，但是沒(méi)有找到恰當(dāng)?shù)淖冃畏趴s，對(duì)利用不等式進(jìn)行放縮不熟悉。關(guān)鍵詞：不等式。3(ab+bc+ca)=333\a+b+c179。21+a111，122163。163。N，*,n179。kk+1248。230。R,ab(+), 均值不等式例5 若n206。2+2180。(n+1) =32+52+L2n+12 n(n+1)2(n+1)22 又Sn=1180。lg8246。247。1,|cosx|163。1cos(a+b)=sin2a+b2.(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)). 利用一般函數(shù)的性質(zhì) 求證a163。f(x)f(y)163。t1246。231。n230。(t)=0,得t= 9 1 當(dāng)2163。,f(2)253。252。246。2234。n1233。2235。11230。2248。2232。232。1246。230。an,(n179。1n+n1n+n1n+n222+1246。2+12180。1246。、或.例15 已知n179。N).例18 求證(Ⅰ)+1!112!+L+證明：(Ⅰ)1n!=1n(n1)(n2)L2112n1122L21=(n179。4+L1(n1)n=1+ = 由 11211246。+231。232。+231。231。aa4248。2232。247。11246。3248。21210例21 求證5證明：由于12+13+1214+L+1215=+1216102=1； +1714+14+14+14=144=1；?? ??1210129+12+19+L+121011119++L+=2=1； 99992442221424443291 由1,將上面的不等式兩邊相加,得到：12+1213=+1214+L+121010又由于；淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 16 +311416+1417++1418=14182=+18+1218；+18=184=12 +51；?? ??12+19+12+29+L+121011 ++L+101010244223142444291 =將上面的不等式兩邊相加,得到：12+13+14+L+12121012102=912；513+1；+L+1210 于是,綜上得到5+4 結(jié)綜上可知,放縮法的技巧千變?nèi)f化,放縮法貫穿于整個(gè)不等式的證明過(guò)程中,不等式證明的每一步幾乎都與“放”與“縮”：(1)在放縮過(guò)程中不等號(hào)的方向必須一致；(2)運(yùn)算時(shí)要注意總結(jié)規(guī)律,有些不等式用特定的放縮方法可以使計(jì)算簡(jiǎn)便,而有些不等式可以用很多種方法解決；(3)不等式的放縮法在不等式的證明中應(yīng)用廣泛,但是遇到具體題目時(shí)不能生搬硬套,用放縮法證明不等式關(guān)鍵就是“度”的把握,如果放得過(guò)大或太小就會(huì)導(dǎo)致解題失敗,而如果放縮不適當(dāng)要學(xué)會(huì)調(diào)整,一些實(shí)用的技巧可以幫助我們把握放縮中的“度”,而具體怎樣放縮才適度,放縮方法更是多種多樣,要能恰到好處的想到具體解題中的放縮方法,需要積累一定的不等式知識(shí), 17 致謝感謝我的導(dǎo)師，她在我的論文寫作過(guò)程中傾注了大量心血，從選題開(kāi)始到開(kāi)題報(bào)告，從寫作提綱到一遍遍的指出稿中的具體問(wèn)題，每一個(gè)工作她都做得那么的細(xì)致認(rèn)真，她的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和工作風(fēng)深深的感動(dòng)著每一個(gè)了解她的人。R+且abc=1求證111≤1 =+1+a+b1+b+c1+c+a證明：設(shè)a=x3,b=y3,c= x、y、z206。R+，p206。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A?！?+a+b=xyz+x3+y3∴x3+y3(x2y+xy2)=x2(xy)+y2(yx)=(xy)2(x+y)≥0 ∴x3+y3≥x2y+xy2∴1+a+b=xyz+x3+y3≥xyz+xy(x+y)=xy(x+y+z)∴1z1=≤xy(x+y+z)x+y+z1+a+byx11≤，≤ ∴+y+zx+y+z1+b+c1+c+a同理：由對(duì)稱性可得[評(píng)析]：本題運(yùn)用了排序不等式進(jìn)行放縮，后用對(duì)稱性。現(xiàn)例析如下，供大家討論。n+L+43n+1+434+436=12+1314++1230。247。231。21an+11a2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),因?yàn)?a11a21an1a10,則：++L++L1an+1an+1246。232。+L+231。a2248。1n74741n：112+122+L+1n2+122+132+13180。+L+231。11246。4) +13!+12 則左邊1+23717 =n2412342!+1233+L+123n2 限制放縮的項(xiàng)和次數(shù)若對(duì)不等式中的每一項(xiàng)都進(jìn)行放縮,很可能造成放得過(guò)大或縮得太小,若限制放縮淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 14 的項(xiàng),保留一些特定項(xiàng)不變,可以通過(guò)這樣來(lái)調(diào)整放縮的“度”,逼近欲證明的目標(biāo), 求證112+122+L+1n261361n(n179。N,證明