不等式放縮技巧十法-文庫(kù)吧資料
2025-06-30 19:24本頁(yè)面
【正文】 、②知，命題對(duì)于都成立 （3） 由, 構(gòu)造輔助函數(shù)，得， 當(dāng)時(shí)，故，所以0 得g(x)在是減函數(shù)， ∴g(x)g(0)=f(0)2=0，∴0,即0，得。由為下凸函數(shù)得 又，所以（4）本題可作推廣如下：若正數(shù)滿足，則簡(jiǎn)證：構(gòu)造函數(shù)，易得故十. 構(gòu)造輔助函數(shù)法【例23】已知= ,數(shù)列滿足（1）求在上的最大值和最小值。九. 借助數(shù)學(xué)歸納法例22（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，求的最小值；（Ⅱ）設(shè)正數(shù)滿足，求證：[解析] 這道高考題為05年全國(guó)卷Ⅰ第22題，內(nèi)蘊(yùn)豐富，有著深厚的科學(xué)背景：直接與高等數(shù)學(xué)的凸函數(shù)有關(guān)！更為深層的是信息科學(xué)中有關(guān)熵的問(wèn)題。式成立，從而結(jié)論成立。1－（）＝1－＝1－。（用數(shù)學(xué)歸納法，證略）利用3176。N*，有179。N*時(shí)有……2176?！璦n2…an＝，為證a1得，a11）……1176。……an2例18 設(shè)，定義，求證：對(duì)一切正整數(shù)有[解析] 用數(shù)學(xué)歸納法推時(shí)的結(jié)論，僅用歸納假設(shè)及遞推式是難以證出的，因?yàn)槌霈F(xiàn)在分母上！可以逆向考慮：故將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：對(duì)一切正整數(shù)有（證略）例19 數(shù)列滿足證明[簡(jiǎn)析] 將問(wèn)題一般化：先證明其加強(qiáng)命題用數(shù)學(xué)歸納法，只考慮第二步： 因此對(duì)一切有 例20 已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)n有a1例17 設(shè)，求證.[簡(jiǎn)析] 令，則，應(yīng)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行部分放縮有，注意到，則（證明從略），因此.六 遞推放縮遞推放縮的典型例子，可參考上述例11中利用部分放縮所得結(jié)論 進(jìn)行遞推放縮來(lái)證明，同理例7中所得和、例8中、 例13（Ⅰ）之法2所得都是進(jìn)行遞推放縮的關(guān)鍵式?！咀ⅰ竣俦绢}為02年高考北京卷題，有著深厚的科學(xué)背景：是計(jì)算機(jī)開(kāi)平方設(shè)計(jì)迭代程序的根據(jù)；同時(shí)有著高等數(shù)學(xué)背景——數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限： ②是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對(duì)此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。[簡(jiǎn)析] 本題有多種放縮證明方法，這里我們對(duì)（Ⅰ）進(jìn)行減項(xiàng)放縮，有法1 用數(shù)學(xué)歸納法（只考慮第二步）；法2 則四 利用單調(diào)性放縮1. 構(gòu)造數(shù)列如對(duì)上述例1，令則，遞減，有，故再如例5，令則，即遞增，有，得證！2．構(gòu)造函數(shù)例14 已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)時(shí)（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，證明[解析] （Ⅰ）=1 ；（Ⅱ）由得 且用數(shù)學(xué)歸納法（只看第二步）：在是增函數(shù)，則得例15 數(shù)列由下列條件確定：，．（I） 證明：對(duì)總有；(II) 證明：對(duì)總有[解析] 構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)。三 添減項(xiàng)放縮上述例5之法2就是利用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行減項(xiàng)放縮的例子。 注：上述不等式可加強(qiáng)為簡(jiǎn)證如下：
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