【正文】 幾項即可。N*時有……2176。【注】①本題為02年高考北京卷題，有著深厚的科學背景：是計算機開平方設(shè)計迭代程序的根據(jù)；同時有著高等數(shù)學背景——數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限： ②是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。 上述解題過程貌似完美，其實細細推敲，是大有問題的：取“＝”的條件是，即必須有，即只有p=q時才成立！那么，呢？其實例6的方法照樣可用，只需做稍稍變形轉(zhuǎn)化： 則有 于是，當且僅當 結(jié)合其結(jié)構(gòu)特征，還可構(gòu)造向量求解：設(shè)，則由立刻得解： 且取“＝”的充要條件是：。[簡析] 本題可用數(shù)學歸納法證明，詳參高考評分標準；這里給出運用柯西（）不等式的簡捷證法：而由不等式得(時取等號) （），得證！例7 已知用數(shù)學歸納法證明；對對都成立，證明（無理數(shù)）[解析] 結(jié)合第問結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。七 轉(zhuǎn)化為加強命題放縮如上述例10第問所證不等式右邊為常數(shù)，難以直接使用數(shù)學歸納法，我們可以通過從特值入手進行歸納探索、或運用逆向思維探索轉(zhuǎn)化為證明其加強命題：再用數(shù)學歸納法證明此加強命題，就容易多了。1－（）……3176。 探索1 著眼于通項特征，結(jié)合求證式特點，嘗試進行遞推放縮： 即。【例24】已知數(shù)列的首項，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）證明：對任意的，；（Ⅲ）證明：．【解析】（Ⅰ）．（Ⅱ）提供如下兩種思路：思路1 觀察式子右邊特征，按為元進行配方，確定其最大值。n！，只要證n206。 當時在遞增，故 對(II)有，構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證。 請分析下述求法：因為，所以有 故的最大值為，且此時有。于是， 即【注】：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結(jié)論來放縮： ，即【例8】已知不等式。例18 設(shè)，定義，求證：對一切正整數(shù)有[解析] 用數(shù)學歸納法推時的結(jié)論，僅用歸納假設(shè)及遞推式是難以證出的，因為出現(xiàn)在分母上！可以逆向考慮：故將原問題轉(zhuǎn)化為證明其加強命題：對一切正整數(shù)有（證略）例19 數(shù)列滿足證明[簡析] 將問題一般化：先證明其加強命題用數(shù)學歸納法，只考慮第二步： 因此對一切有 例20 已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式；（2）證明：對一切正整數(shù)n有a1（用數(shù)學歸納法，證略）利用3176。于是由此遞推放縮式逐步放縮得 探索2 從求證式特征嘗試分析：結(jié)論式可作如下變形：