不等式放縮技巧十法-閱讀頁
2025-07-09 19:24本頁面
【正文】 數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）證明：對(duì)任意的整數(shù)，有.[簡析] （Ⅰ）略，（Ⅱ） ；（Ⅲ）由于通項(xiàng)中含有，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論：當(dāng)且為奇數(shù)時(shí) （減項(xiàng)放縮），于是, ①當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)②當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)（添項(xiàng)放縮）由①知由①②得證。（Ⅰ）略，只證（Ⅱ）：考慮試題的編擬初衷，是為了考查數(shù)學(xué)歸納法，于是借鑒詹森不等式的證明思路有：法1（用數(shù)學(xué)歸納法）（i）當(dāng)n=1時(shí)，由（Ⅰ）知命題成立.（ii）假定當(dāng)時(shí)命題成立，即若正數(shù)，則當(dāng)時(shí)，若正數(shù)（*）為利用歸納假設(shè)，將（*）式左邊均分成前后兩段：令則為正數(shù)，且由歸納假定知 （1）同理，由得（2）綜合（1）（2）兩式即當(dāng)時(shí)命題也成立. 根據(jù)（i）、（ii）可知對(duì)一切正整數(shù)n命題成立.法2 構(gòu)造函數(shù)利用（Ⅰ）知，當(dāng)對(duì)任意② （②式是比①式更強(qiáng)的結(jié)果）. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.（i）當(dāng)n=1時(shí)，由（I）知命題成立.（ii）設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù) 對(duì)（*）式的連續(xù)兩項(xiàng)進(jìn)行兩兩結(jié)合變成項(xiàng)后使用歸納假設(shè)，并充分利用②式有由歸納法假設(shè) 得 即當(dāng)時(shí)命題也成立. 所以對(duì)一切正整數(shù)n命題成立.【評(píng)注】（1）式②也可以直接使用函數(shù)下凸用（Ⅰ）中結(jié)論得到；（2）為利用歸納假設(shè)，也可對(duì)（*）式進(jìn)行對(duì)應(yīng)結(jié)合：而變成項(xiàng)；（3）本題用凸函數(shù)知識(shí)分析如下：先介紹詹森（jensen）不等式：若為上的下凸函數(shù)，則對(duì)任意，有 特別地，若，則有若為上凸函數(shù)則改“”為“”。（2）證明：。【例24】已知數(shù)列的首項(xiàng)，．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：對(duì)任意的，；（Ⅲ）證明：．【解析】（Ⅰ）．（Ⅱ）提供如下兩種思路：思路1 觀察式子右邊特征，按為元進(jìn)行配方，確定其最大值。如下證明是否正確，請(qǐng)分析：易于證明對(duì)任意成立；于是【注】上述證明是錯(cuò)誤的！因?yàn)椋菏沁f增的，不能逐步“縮小”到所需要的結(jié)論。 探索1 著眼于通項(xiàng)特征，結(jié)合求證式特點(diǎn)，嘗試進(jìn)行遞推放縮： 即。 探索3 探索過渡“橋”，尋求證明加強(qiáng)不等式：由（2）知xn≥1，由此得。（每一項(xiàng)都小于1）而再證即，則需要?dú)w納出條件n≥4.(前4項(xiàng)驗(yàn)證即可)已知an=n ，求證：＜3．證明：=＜1＋ ＜１＋==1＋ (－) =1＋1＋－－＜2＋＜3．本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項(xiàng)，最后又放縮，有的放矢，直達(dá)目標(biāo).放大或縮小“因式”；例已知數(shù)列滿足求證：證明 本題通過對(duì)因式放大，而得到一個(gè)容易求和的式子，最終得出證明.【評(píng)注】從上述探索放縮證明技巧過程易于看到：探索的方法與手段多種多樣，關(guān)鍵是把握條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征之間的密切聯(lián)系！從此可看到抽象化具體的
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