高考數(shù)學(xué)數(shù)列不等式證明題放縮法十種方法技巧總結(jié)-閱讀頁
2024-08-30 11:16本頁面
【正文】 一個加強不等式： 對每個n206。1－（）……3176。得179。故2176。8. 分項討論例21 [簡析] （Ⅰ）略，（Ⅱ） ；（Ⅲ）由于通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：當(dāng)且為奇數(shù)時（減項放縮），于是, ①當(dāng)且為偶數(shù)時，②當(dāng)且為奇數(shù)時，（添項放縮）由①知。9. 借助數(shù)學(xué)歸納法例22 [解析] 科學(xué)背景：直接與凸函數(shù)有關(guān)?。á瘢┞?，只證（Ⅱ）：考慮試題的編擬初衷，是為了考查數(shù)學(xué)歸納法，于是借鑒詹森不等式的證明思路有：法1（用數(shù)學(xué)歸納法）（i）當(dāng)n=1時，由（Ⅰ）知命題成立。由為下凸函數(shù)得 ，又，所以（4）本題可作推廣如下：若正數(shù)滿足，則。由①、②知，命題對于都成立 （3） 由, 構(gòu)造輔助函數(shù)，得，當(dāng)時，故，所以0 得g(x)在是減函數(shù)， ∴g(x)g(0)=f(0)2=0，∴0,即0，得。法1 由（Ⅰ）知，原不等式成立．思路2 將右邊看成是關(guān)于x的函數(shù)，通過求導(dǎo)研究其最值來解決：法2 設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）思路1 考慮本題是遞進式設(shè)問，利用（Ⅱ）的結(jié)論來探究解題思路：由（Ⅱ）知，對任意的，有．取，則．原不等式成立．【注】本解法的著眼點是對上述不等式中的x進行巧妙賦值，當(dāng)然，賦值方法不止一種，如：還可令，得 思路2 所證不等式是與正整數(shù)n有關(guān)的命題，能否直接用數(shù)學(xué)歸納法給予證明？嘗試： （1）當(dāng)時，成立； （2）假設(shè)命題對成立，即則當(dāng)時，有 ，只要證明；即證，即證用二項式定理（展開式部分項）證明，再驗證前幾項即可?？尚薷娜缦拢嚎紤]是某數(shù)列的前n項和，則，只要證明思路3 深入觀察所證不等式的結(jié)構(gòu)特征, 利用均值不等式可得如下妙證：由取倒數(shù)易得：，用n項的均值不等式：，例25 【解析】(Ⅰ) （Ⅱ）使不等式對一切正整數(shù)n都成立的充要條件是x1≥1. (Ⅲ) 基本思路：尋求合適的放縮途徑。于是由此遞推放縮式逐步放縮得 探索2 從求證式特征嘗試分析：結(jié)論式可作如下變形： 逆向思考，猜想應(yīng)有：（用數(shù)學(xué)歸納法證明，略）。有嘗試證明 證法1（數(shù)學(xué)歸納法，略）； 法2 （用二項展開式部分項）：當(dāng)n≥2時2n=(1+1)n≥ 此題還可發(fā)現(xiàn)一些放縮方法，如：
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