利用放縮法證明數(shù)列型不等式壓軸題-閱讀頁
2025-04-08 12:45本頁面
【正文】 特征，構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，再進(jìn)行放縮求解。解：令函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)，恒有，即恒成立．故當(dāng)時(shí)，有．對任意正整數(shù)取，則有．二、放縮法的注意問題以及解題策略明確放縮的方向：即是放大還是縮小，看證明的結(jié)論，是小于某項(xiàng)，則放大，是大于某個(gè)項(xiàng)，則縮小。放縮法的常見技巧及常見的放縮式：（1）根式的放縮：；（2）在分式中放大或縮小分子或分母：；真分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)加上一個(gè)正數(shù)，則變大；，；假分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)加上一個(gè)正數(shù)，則變小，如；（3）應(yīng)用基本不等式放縮：；（4）二項(xiàng)式定理放縮：如；（5）舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)，如：。這需要勤于觀察和思考，抓住欲證命題的特點(diǎn)，只有這樣，才能使問題迎刃而解。若要證明，則，所以，從而遞增，所以成立，此時(shí)用單調(diào)函數(shù)放縮法可行。放縮法的策略以及精度的控制例10已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足。簡解：（1）（2）；（3）證法一：當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)，=綜上所述。點(diǎn)評：兩種證法的不同在于策略的選擇不同。明顯比大很多，比更接近。因此，在放縮時(shí)，要盡量縮小放縮度，提高放縮精度，避免運(yùn)算上的麻煩。對于某個(gè)題目可能用到單一的放縮法，也可能用到復(fù)合型的放縮法，在平時(shí)或考試中遇到數(shù)列型不等式的證明問題，我們不能望題興嘆，也不能輕言放棄，更不能盲目瞎撞。只有正確把握了放縮法的方法思路和規(guī)律特征，我們在證明數(shù)列型不等式的壓軸題時(shí)，就會(huì)豁然開朗，快速找到突破口，成為解決此類題
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