【正文】 1361n(n179。N).*證明：這是一個常見問題的改編題,我們先給出一般算法： 112+122+L+1n2112+11180。3+L1(n1)n=2 由21n61361n ,顯然放得過大,要減少放大的項；先試試減少一項： 112+122+L+1n2112+122+12180。4+L1(n1)n=1+ = 由 11211246。11246。11246。1+231。+231。+L+231。4232。232。232。1n74741n：112+122+L+1n2+122+132+13180。N).*證明：(Ⅰ)略(Ⅱ)當(dāng)n為偶數(shù)時, 1a1+1a2+L1an230。247。+231。a2248。1432230。11246。231。+L+231。 ++231。231。aa4248。232。n16 =+434+43+L+43n1230。1231。2232。21an+11a2當(dāng)n為奇數(shù)時,因為1a11a21an1a10,則：++L++L1an+1an+1246。 247。230。247。231。232。432230。11246。247。++L++231。aa4247。3248。n+L+43n+1+434+436=12+1314++1230。1231。2232。21210例21 求證5證明：由于12+13+1214+L+1215=+1216102=1； +1714+14+14+14=144=1；?? ??1210129+12+19+L+121011119++L+=2=1； 99992442221424443291 由1,將上面的不等式兩邊相加,得到：12+1213=+1214+L+121010又由于；淺談用放縮法證明不等式 16 +311416+1417++1418=14182=+18+1218；+18=184=12 +51；?? ??12+19+12+29+L+121011 ++L+101010244223142444291 =將上面的不等式兩邊相加,得到：12+13+14+L+12121012102=912；513+1；+L+1210 于是,綜上得到5+4 結(jié)綜上可知,放縮法的技巧千變?nèi)f化,放縮法貫穿于整個不等式的證明過程中,不等式證明的每一步幾乎都與“放”與“縮”：(1)在放縮過程中不等號的方向必須一致；(2)運算時要注意總結(jié)規(guī)律,有些不等式用特定的放縮方法可以使計算簡便,而有些不等式可以用很多種方法解決；(3)不等式的放縮法在不等式的證明中應(yīng)用廣泛,但是遇到具體題目時不能生搬硬套,用放縮法證明不等式關(guān)鍵就是“度”的把握,如果放得過大或太小就會導(dǎo)致解題失敗,而如果放縮不適當(dāng)要學(xué)會調(diào)整,一些實用的技巧可以幫助我們把握放縮中的“度”,而具體怎樣放縮才適度,放縮方法更是多種多樣,要能恰到好處的想到具體解題中的放縮方法,需要積累一定的不等式知識, 17 致謝感謝我的導(dǎo)師，她在我的論文寫作過程中傾注了大量心血，從選題開始到開題報告，從寫作提綱到一遍遍的指出稿中的具體問題，每一個工作她都做得那么的細(xì)致認(rèn)真，她的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和工作風(fēng)深深的感動著每一個了解她的人。下面舉例談?wù)勥\用放縮法證題的常見題型。，b為不相等的兩正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證1＜a＋b＜4。33證明：因為a2+ab+b2=同理b2+bc+c2＞b+c，2（a+b23）+b2＞42（a+b2）2=a+bb≥a+，22c2+ac+a2＞c+a。、b、c為三角形的三邊，求證：1＜abc＋＋＜2。b+ca+ca+b綜合得1＜若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項和，可采用數(shù)列中裂項求和等方法來解題。證明：因為=＜n+n13=2（nn1），則1+++＜1+2（21）+2（2）+?+2（nn1）=2n1＜2n，證畢。N*且an=180。3+L+n(n+1)，求證：對所有正整數(shù)n都成立。+L+=++L+=，利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。N*且n179。nn+1=(122+1n)(11n+1)=1n+122+1n=2(2n+1)(n+1)(2+1)nn又因為n206。3，所以只須證2n2n+1，又因為，n=(1+1)n=Cn+Cn+Cn+L+Cnn1+Cnn=1+n+n(n1)+L+n+12n+1所以f(n)nn+1。b時f（a）f（b）ab。對于不等式的某個部分進(jìn)行換元，可顯露問題的本質(zhì)，然后隨機進(jìn)行放縮，可達(dá)解題目的。證明：因為abc，所以可設(shè)a=c+t，b=c+u(tu0)，所以tu0則1ab+1bc+1ca=1tu+1u1t1u1t=tutu0，即1ab+1bc+1ca0。N*且n179。證明：由于a2+b2=c2，可設(shè)a=csina，b=ccosa（a為銳角），因為0sina1，0cosa1，則當(dāng)n179。根據(jù)題目特征，通過構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。a1+a+b1+b。0)，首先判斷其單調(diào)性，設(shè)0163。]上是增函數(shù)，取x1=a+b，x2=a+b，顯然滿足0163。x2，所以f(a+b)163。|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|163。證畢。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。：執(zhí)果索因。(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。二、部分方法的例題換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導(dǎo)致解決失敗。數(shù)學(xué)題目是無限的，但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。當(dāng)然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時間，這一點在考試時間有限時顯得很重要。解題需要豐富的知識，更需要自信心。有了自信，才能勇往直前，才不會輕言放棄，才會加倍努力地學(xué)習(xí)，才有希望攻克難關(guān)，迎來屬于自己的春天。難點：放縮法證明不等式。2，放縮時常使用的方法：①舍去或加上一些項，即多項式加上一些正的值，多項式的值變大，或多項式減上一些正的值，多項式的值變小。②將分子或分母放大（或縮小）：分母變大，分式值減小，分母變小，分式值增大。N,k1)1111，22kkk(k1)k(k+1)，③利用平均值不等式，④利用函數(shù)單調(diào)性放縮。N+)2222123nloga(a+1)1(3)已知x＞0, y0，z0求證x+y+z（4）已知n206。a1+a+b1+b本節(jié)小結(jié)：