【正文】 第一篇：用放縮法證明不等式1用放縮法證明不等式時間:20090113 10:47 點擊:1230次不等式是高考數(shù)學(xué)中的難點，而用放縮法證明不等式學(xué)生更加難以掌握。不等式是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點難點。本難點著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力不等式是高考數(shù)學(xué)中的難點，而用放縮法證明不等式學(xué)生更加難以掌握。不等式是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點難點。本難點著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。放縮法的理論依據(jù)是不等式性質(zhì)的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮、怎樣展開。證明不等式時，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)姆趴s方法。⒈利用三角形的三邊關(guān)系［例1］ 已知a，b，c是△ABC的三邊，求證：證明：∴﹥?！?為增函數(shù)，又∵點評：學(xué)生知道要利用三角形的三邊關(guān)系，但無法找到放縮的方法，難在構(gòu)造函數(shù)。⒉利用函數(shù)的單調(diào)性［例2］ 求證：對于一切大于1的自然數(shù)n，恒有。證明： 原不等式變形為，令 則，所以。即 是單調(diào)增函數(shù)（n=2，3，?），所以。故原不等式成立。點評：一開始學(xué)生就用數(shù)學(xué)歸納法進行嘗試，結(jié)果失敗，就放棄了。若使不等式的右邊變?yōu)槌?shù)，再用單調(diào)性放縮就好了。⒊利用基本不等式［例3］已知f（x）=x+證明：設(shè)（1）+（2）得(x﹥0)求證：－，（1）（2）點評：用數(shù)學(xué)歸納法證明，思路簡單，但是難度很大，可以通過二項式定理展開，倒序法與基本不等式相結(jié)合進行放縮。⒋利用絕對值不等式 ［例4］設(shè)證明：∵=，∴，當(dāng)，時，總有，求證：。又∵所以∴，∴=7。點評：本題是一道函數(shù)與絕對值不等式綜合題，學(xué)生不能找到解題的突破口，關(guān)鍵在于找到a，b，c與f（0），f（1），f（1）的聯(lián)系，再利用絕對值內(nèi)三角形不等式適當(dāng)放縮。⒌利用不等式和等比數(shù)列求和［例5］求證：。證明：=，利用不等式∴﹤=﹤。點評：有些學(xué)生兩次用錯位相減進行放縮，但是沒有找到恰當(dāng)?shù)淖冃畏趴s，對利用不等式進行放縮不熟悉。若經(jīng)過“湊”與不等式求和放縮就到了。⒍ 利用錯位相減法求和相結(jié)合，再利用等比數(shù)列［例6］已知a1, a2, a3, ??, an, ??構(gòu)成一等差數(shù)列，其前n項和為Sn＝n2, 設(shè)bn＝記{bn}的前n項和為Tn,(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)證明：Tn解：(1)a1＝S1＝1, 當(dāng)n≥2時, an＝Sn－Sn－1＝2n－1。由于n＝1時符合公式，, ∴ an＝2n－1(n≥1).(2)Tn＝, , ∴ Tn＝ 兩式相減得Tn＝＋＝＋(1－)－, ∴ Tn＝＋(1－)－⒎ 利用裂項法求和［例7］已知函數(shù)在上有定義，且滿足①對任意的②當(dāng)證明：，則.，則，故.在，且由可得，則由題有，即從而函數(shù)在時，.，所以為，即.點評：本題將數(shù)列與不等式、函數(shù)綜合考查數(shù)學(xué)邏輯推理能力，分析問題能力，變形能力，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，但學(xué)生解題的過程不過完善。若用裂項法進行數(shù)列求和放縮就簡單 ⒏利用二項式定理展開［例8］已知數(shù)列滿足(n∈N*),是的前n項的和，并且．（1）求數(shù)列的前項的和；（2）證明：≤．（3）求證： 解：(1)由題意得兩式相減得所以再相加所以數(shù)列是等差數(shù)列．又又所以數(shù)列的前項的和為．而≤.（3）證明：點評：這是一道很有研究價值的用放縮法證明不等式的典例?？疾榱伺c an 的關(guān)系，有些學(xué)生沒有對an中的n進行討論，也沒有合并，雖用了二項式展開，但無法構(gòu)造不等式進行放縮。對第3小題的放縮也可裂項法求和進行放縮。第二篇：淺談用放縮法證明不等式淮南師范學(xué)院2012屆本科畢業(yè)論文 1目錄引言?????????????????????????????????（2）??????????????????????????（3） 增減放縮法???????????????????????????（3） 公式放縮法???????????????????????????（5） 利用函數(shù)的性質(zhì)?????????????????????????（6） 綜合法?????????????????????????????（9） 數(shù)列不等式的證明????????????????????????（11）???????????????????????（12） 調(diào)整放縮量的大小????????????????????????（12） 限制放縮的項和次數(shù)???????????????????????（13） 將不等式的一邊分組進行放縮???????????????????（14）總結(jié)?????????????????????????????????（16）致謝?????????????????????????????????（17）參考文獻???????????????????????????????（18）淺談用放縮法證明不等式 2 淺談用放縮法證明不等式學(xué)生： 指導(dǎo)老師：淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系摘要：本文介紹了放縮法的基本概念, 在此基礎(chǔ)上總結(jié)出增減放縮法、公式放縮法、利用函數(shù)的性質(zhì)放縮和綜合法等用放縮法證明不等式的常用技巧,以及數(shù)列不等式證明中放縮法的應(yīng)用,。關(guān)鍵詞：不等式。放縮法。技巧。適當(dāng)Proving the Inequity by Amplification and MinificationStudent： Guide teacher：Huainan Normal University Department of MathematicsAbstract: This paper introduces the fundamental conception of the amplification and minification on the basis of this, it sums up some monly used skills: increasing or reducing some terms, using important inequality formula, using function properties, synthesis method, and the amplification method to demonstrate the sequence addition, it describes how to make it appropriate in proving the inequality by the amplification and minification method from three do much help to demonstrating words: inequality。amplification and minification。skill。appropriate引 言在證明不等式的過程中,我們的基本解題思路就是將不等式的一邊通過若干次適當(dāng)?shù)暮愕茸冃位虿坏茸冃?放大或縮小),根據(jù)等式的傳遞性①和不等式的傳遞性②,不等式的證明最大特色就是在變形過程中它有“不等的”變形,即對原式進行了“放大”或“縮小”.而這種對不等式進行不等變形,從而使不等式按同一方向變換,方法靈活多變,應(yīng)當(dāng)注意